Question

【题目】已知函数．

（1）当时，证明：函数有两个零点．

（2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明（为自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先求导数，确定函数单调区间，再利用零点存在定理证明结果；

（2）先对要证不等式两边取对数，结合极值点条件转化为证，再根据极值点条件解得，代入再次转化所求不等式为，令，构造函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定其最值，最后根据最值证不等式.

证明：（1）的定义域为，由，可得．

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以．

取，则，记，

所以在上单调递减，．

所以当时，，所以函数在上存在一个零点．

当时，，所以函数在上存在一个零点．

综上，当时，函数有两个零点．

（2）依题意，得，则．

因为有两个极值点，所以．

因为要证明，所以只需证明，即，所以只需证明．

又因为，所以只需证明①．

由可得，则②．

由①②可知，即．

设，则上式等价于．

令，则．

因为，所以，所以在上单调递增，

所以当时，，即，所以原不等式成立，即．