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(本小题满分13分)
给出定义在(0，＋∞)上的三个函数：
，
，
，已知
在x＝1处取极值.
（Ⅰ）确定函数h(x)的单调性；
（Ⅱ）求证：当
时，恒有
成立；
（Ⅲ）把函数h(x)的图象向上平移6个单位得到函数h1(x)的图象，试确定函数y＝g(x)－h1(x)的零点个数，并说明理由.
（1）h(x)在(1，+∞)上是增函数，在(0，1)上是减函数（2）见解析（3）见解析
解析:
（Ⅰ）由题设，
，则
. （1分）
由已知，
，即
. （2分）
于是
，则
. （3分）
由
，所以h(x)在(1，+∞)上是增函数，在(0，1)上是减函数.（4分）
（Ⅱ）当
时，
，即
. （5分）
欲证
，只需证
，即证
. （6分）
设
，
则
.
当
时，
，所以
在区间(1，e2)上为增函数. （7分）
从而当时，
，即
，故. （8分）
（Ⅲ）由题设，
.令
，则
，即
. （9分）
设
，
，则
，由
，得x＞4.
所以
在(4，＋∞)上是增函数，在(0，4)上是减函数.
又
在(0，
)上是增函数，在(，＋∞)上是减函数.
因为当x→0时，
，
.
又
，
，
，
，则函数
与
的大致图象如下： （12分）
 |
由图可知，当x＞0时，两个函数图象有2个交点，故函数y＝g(x)－h1(x)有2个零点.（13分）
