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【题目】已知函数
，以下关于
的结论其中正确的结论是（ ）
①当
时，在
上无零点；
②当时，在
上单调递增；
③当
时，在上有无数个极值点；
④当
时，
在上恒成立.
A.①④B.②③C.①②④D.②③④
【答案】D
【解析】
根据零点存在性定理，可判断①；通过求导，判断
符号以及零点的个数，可判断②③；利用导数结合不等式性质可判断④，即可得出结论.
对于①：当
时，
，
,
在
存在零点，所以①错误；
对于②：当时，，
，
当
时，
，
当
，
当
，
恒成立，
故在
上单调递增，故②正确
对于③：当
时，
，
，
令
，得
，
画出
和
作出如图，
当
时，
，
和在
有无数个交点，
交点的横坐标为的极值点，
故此时，在
上有无数个极值点；故③正确
对于④：当
时，
，
当时，
，
令
，得
，
所以
单调递减，故当时，
，
当时，
当
时，
，进一步分析，
当
时，
，
对于
，得
，
单调递增，
且
单调递减，
单调递增，
时，
取得极小值，也是最小为
，
，
在上恒大于0，即
，
当
，
，在时有，故单调递增，
且
，所以
，
所以，
综上，当时，在上恒成立，故④正确
故答案为：D
