Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=BC=1，E是PC的中点，平面PAC⊥平面ABCD．

（1）证明：ED∥平面PAB；

（2）若PC=2，PA=，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】

【解析】（1）如图，取PB的中点F，连接AF，．

∵EF是的中位线，∴EF∥BC，且EF=．（2分）

又，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，则四边形ADEF是平行四边形．

∴DE∥AF，又DE平面ABP，AF平面ABP，∴ED∥平面PAB.（5分）

（2）如图，取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，∴四边形ADCM是平行四边形，

∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，∴AB⊥AC，可得．

过D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．

过G作于，则PC⊥平面GHD，连接DH，则PC⊥DH，

∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．（9分）

在中，，连接AE，．

在中，，则.

即二面角A﹣PC﹣D的余弦值为.（12分）