【题目】设函数．

（1）求函数的最小值；

（2）设，讨论函数的单调性；

（3）斜率为的直线与曲线交于、两点，

求证：

【答案】（1）；（2）当时，在上是增函数；当时，在上单调递增，在上单调递减；（3）见解析.

【解析】

（1）对函数求导，求其单调区间，即可求出极值，可得最小值；（2）分别讨论和时函数的单调性；（3）将直线斜率用表示出来，将要证的不等式转化为证（），最后讨论函数（）和（）单调性，即可证明原题.

（1），令，得

因为当时；当时，

所以当时，

（2），

①当时，恒有，在上是增函数；

②当时，

令，得，解得；

令，得，解得，

综上，当时，在上是增函数；

当时，在上单调递增，在上单调递减

(3) ．

要证，即证，等价于证，令，

则只要证，由知，故等价于证 (*)．

① 设，则，故在上是增函数，

∴ 当时，，即．

② 设，则，故在上是增函数，

∴ 当时，，即．

由①②知(*)成立，得证．

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