【题目】已知函数在区间内存在零点．

（1）求的范围；

（2）设，是的两个零点，求证：．

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）将问题转化为在区间有解，求导后，讨论可得函数在内的单调性，利用单调性，结合零点存在性定理可得答案；

（2）当时，可得的单调性，利用零点存在性定理可得，从而可证.

（1）由题意，方程在区间有解，

即方程在区间有解，

设函数，即在区间存在零点．

因为，

①若，则，，成立，

在区间单调递增，

，，，

所以在区间存在零点；

②若，则，在内单调递减，

且，所以在区间无零点；

③若，则，，

当时，，

故在区间无零点；

综上所述，．

（2）由（1）可知，

时，在区间单调递减，在区间单调递增，

且在区间存在一个零点；

又，，

所以在区间也存在一个零点，

从而，

所以，不等式得证．

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