【题目】某电子设备工厂生产一种电子元件，质量控制工程师要在产品出厂前将次品检出.估计这个厂生产的电子元件的次品率为0.2%，且电子元件是否为次品相互独立，一般的检测流程是：先把个电子元件串联起来成组进行检验，若检测通过，则全部为正品；若检测不通过，则至少有一个次品，再逐一检测，直到把所有的次品找出，若检验一个电子元件的花费为5分钱，检验一组（个）电子元件的花费为分钱.

（1）当时，估算一组待检元件中有次品的概率；

（2）设每个电子元件检测费用的期望为，求的表达式；

（3）试估计的值，使每个电子元件的检测费用的期望最小.（提示：用进行估算）

【答案】（1）0.008；（2）；（3）.

【解析】

（1）先求出一组（4件）中无次品，即4件产品均正品得概率，再由可解.

（2）列出每组（个）电子元件的检测费用的所有可能取值为，，列出的分布列，利用期望性质求出每个电子元件期望.

（3）利用，得到，用基本不等式求解最值.

（1）设事件：一组（4件）中有次品，则事件：一组（4件）中无次品，即4件产品均正品，

又4件产品是否为次品相互独立，则，

所以.

（2）方法一：设每组（个）电子元件的检测费用为，则的所有可能取值为，，

，，

则的分布列为

所以，

则有.

方法二：设每个电子元件的检测费用为，则的取值为，，，，

则的分布列为

所以

（3），

，

当且仅当时取等号，此时为，

所以，估计当时，每个电子元件平均检测费用最低，约为1.4分钱.

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