【题目】如图，在直三棱柱中， ， ，点是的中点．

①求证： ．

②求点到平面的距离．

③求二面角的余弦值的大小．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】试题分析：（1）由等腰三角形得，由平面得，故而可得平面，最后得结论；（2）点到平面的距离为．通过转化，求点到平面的距离；（3）以为坐标原点， ， ， 为， ， 轴，建立空间直角坐标系，求出面和面的法向量，计算法向量的夹角，根据图可判断二面角为锐角，故可得角的大小.

试题解析：（1）∵在等腰中， 为斜边中点，∴，又∵在直三棱柱中， 平面， 平面，∴ ，∵点， 、平面，∴平面， 平面，∴．

（2）设点到平面的距离为，在三棱锥中，∵，且平面，∴，易求得， ，∴，即点到平面的距离是

（3）如图，

以为坐标原点， ， ， 为， ， 轴，建立空间直角坐标系， ， ， ， ， ， ， ， ．设平面的一个法向量， ， ，设平面的一个法向量， ， ，∴，由图知，所求二面角为锐角，余弦值为．

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