Question

【题目】已知函数.

(Ⅰ)当时，求函数的图象在点(1， )处的切线方程；

(Ⅱ)讨论函数的单调区间；

(Ⅲ)已知，对于函数图象上任意不同的两点，其中，直线的斜率为，记，若求证

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析.

【解析】【试题分析】（Ⅰ）由题设条件先求出函数导数，再借助导数的几何意义求出切线的斜率；（Ⅱ）先求函数的导数再依据实数的取值范围进行分类求出其单调区间；（Ⅲ）分别求出k= 和将问题转化为证明，然后设再构造函数，最后借助导数知识推断函数在内单调递减，进而推得从而证得：

解析：(Ⅰ)当时,

又

函数的图象在点(1， )处的切线方程为: ,

即

(Ⅱ) 的定义域为

当时， 在上恒成立， 在定义域内单调递增；

当时，令解得，

则时， ， 单调递增；

时， ， 单调递减；

综上， 时， 的单调递增区间为；

时， 的单调递增区间为，

的单调递增区间为

（Ⅲ）证明：

，

又，

要证： ，只需证

即证： ，设

令则

令

对称轴.

，故在内单调递减，则；

故.