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【题目】已知椭圆
的长轴为
，且点
在椭圆
上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点
，若点
为椭圆上一动点（不同于点
、
）直线
.设直线
的方程为
，直线与直线
、
、
分别交于
、
、
三点，试问：是否存在实数
，使得
恒成立？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
（1）根据长轴长和椭圆上的点的坐标求解标准方程；
（2）求出E，M，F的坐标，根据
建立等量关系分析定值.
（1）因为长轴为
，故
将
代入方程
所以椭圆
的标准方程为
（2）①当点
为
时，
：
，
：
，
：
分别与直线
求交点横坐标
，
，
，若满足条件，则
解得；同理，若点为
时，也解得
②当点横坐标不为±2，直线：
与
联立，解得
直线：
与联立，解得
直线：
与联立，解得
（注：因为直线与直线、、都相交，所以以上分母不为0）
若有，则
（因为点
、
、
在直线上，所以当时，必有
，满足）
故只需验证
，（*）
（若恒成立，取特殊点
代入也满足，得
，若没有①，此时特殊化得
扣2分）
将代入（*）式验证是否恒成立即可
又因为
代入上式，得
，
即存在，使得（*）式恒成立.
