《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

示例2 （2023·金华改编）在平面直角坐标系中，将点 $A(4,5)$ 绕原点 $O$ 按逆时针方向旋转 $90^{\circ}$，得到点 $A'$。
（1）求点 $A'$ 的坐标；
（2）试说明线段 $AA'$ 的垂直平分线必过原点。

答案：
解：（1）如图，连接 $OA$，$OA'$，过点 $A$ 作 $AH \perp y$ 轴于点 $H$，过点 $A'$ 作 $A'M \perp x$ 轴于点 $M$。由 $A(4,5)$，得 $AH = 4$，$OH = 5$。$\because$ 旋转中心是原点，旋转角是 $90^{\circ}$，$\therefore \angle AOA' = 90^{\circ}$，且 $OA = OA'$。$\therefore \angle AOH + \angle A'OH = 90^{\circ}$。又 $\because \angle A'OM + \angle A'OH = 90^{\circ}$，$\therefore \angle AOH = \angle A'OM$。又 $\because \angle AHO = \angle A'MO = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle OAH \cong \triangle OA'M$。$\therefore AH = A'M = 4$，$OH = OM = 5$。$\therefore$ 点 $A'$ 的坐标为 $(-5,4)$。
（2）$\because A$，$A'$ 为对应点，旋转中心为原点，$\therefore$ 线段 $AA'$ 的垂直平分线必过原点。