《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

一数形结合思想在二次函数中的应用
“数”与“形”是数学中最基本的概念，每一个
几何图形中都蕴含着一定的数量关系，而数量关
系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和
描述，因此数形结合也就成为研究数学问题的重
要思想方法,在本章中比较纵坐标的大小、由二
次函数的图象确定代数式值的正负等均用到了
数形结合思想.
例1已知二次函数y=−x²十x−$\frac{1}{5}$,当自变
量x取m时,对应的函数值大于0;当自变量
x分别取m−1和m+1时,对应的函数值分
别为y1,y2,则y1,y2满足 ()
A.y1＞0,y2＞0 B.y1＜0,y2＜0
C.y1＜0,y2＞0 D.y1＞0,y2＜0

答案：
解析:二次函数可化为y=−(x−$\frac{1}{2}$)²+$\frac{1}{20}$,大致
图象如图所示，E,F为二次函数的图象与x轴的
交点.设点M(m,n)在抛物线上.因为n＞0,所以
点M在x轴的上方.所以xE＜m＜xF.所以m一
1＜0,m+1＞1.由图象,可知当x=m−1或x=
m+1时，对应的点都在x轴下方.所以y1＜0,
y2＜0.

答案:B.

例2已知二次函数y=x²+(m−1)x+1,当x＞1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是 (D)

A.m=−1 

B.m=3

C.m≤−1 

D.m≥−1

答案： 【解析】：二次函数$y=x^2+(m-1)x+1$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{m-1}{2}$，$a=1\gt0$，抛物线开口向上，当$x\geq-\frac{m-1}{2}$时，$y$随$x$的增大而增大。已知当$x\gt1$时，$y$随$x$的增大而增大，所以对称轴$x=-\frac{m-1}{2}\leq1$，解得$m\geq-1$。
【答案】：D

例3如图,抛物线y=−x²+5x十n经过点
A(1,0),与y轴交于点B.

(1)求抛物线对应的解析式.
(2)P是y轴正半轴上的一点,且△PAB是
以AB为腰的等腰三角形.试求点P的坐标.

答案： 解析:
(1)把A(1,0)代入抛物线对应的解析式
y=−x²+5x十n,求出n即可.
(2)按AB=AP
或AB=BP两种情况进行分类讨论，无论哪种情
况都必须先根据解析式求出点B的纵坐标.
解:
(1)把A(1,0)代入抛物线对应的解析式
y=−x²+5x+n,
得−1+5+n=0,解得n=−4.
∴:抛物线对应的解析式为y=一x²+
5x−4.