《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

示例2 用配方法解下列方程：
1. $ x^{2}=6x-9 $；
2. $ 2x^{2}-4x-1=0 $；
3. $ \frac{1}{2}x^{2}+5x+13=0 $.

答案： 解析：
通过移项、二次项系数化为1等过程，将方程转化为 $ x^{2}+mx=n $ 的形式，再配方（等式两边同时加上一次项系数一半的平方），配方的目的是将方程转化为可以用直接开平方法解的形式.
解：
1. 移项，得 $ x^{2}-6x=-9 $. 配方，得 $ x^{2}-6x+9=-9+9 $，即 $ (x-3)^{2}=0 $. $ \therefore x_{1}=x_{2}=3 $.
2. 移项，得 $ 2x^{2}-4x=1 $. 将二次项系数化为1，得 $ x^{2}-2x=\frac{1}{2} $. 配方，得 $ x^{2}-2x+1=\frac{1}{2}+1 $，即 $ (x-1)^{2}=\frac{3}{2} $. 由此可得 $ x-1=\pm \frac{\sqrt{6}}{2} $，$ \therefore x_{1}=1+\frac{\sqrt{6}}{2} $，$ x_{2}=1-\frac{\sqrt{6}}{2} $.
3. 移项，得 $ \frac{1}{2}x^{2}+5x=-13 $. 将二次项系数化为1，得 $ x^{2}+10x=-26 $. 配方，得 $ x^{2}+10x+25=-26+25 $，即 $ (x+5)^{2}=-1＜0 $. 由此可得原方程无实数根.