《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例12(2022.连云港)已知二次函数y=
x²+(m−2)x+m−4,其中m＞2.
(1)当该函数的图象经过原点O(0,0)时，求
此时函数图象的顶点A的坐标;
(2)求证:二次函数y=x²+(m−2)x+
m−4图象的顶点在第三象限;
(3)如图①,在(1)的条件下，若平移该二次
函数的图象,使其顶点在直线y=−x−2上
运动,平移后所得函数的图象与y轴的负半
轴的交点为B,求△AOB面积的最大值.

答案： 解析:
(1)把0(0,0)代入y=x²+(m−2)x十m一
4,求出m的值，得到二次函数的解析式，即可得出
函数图象的顶点A的坐标.
(2)由抛物线的顶点坐
标公式得该二次函数图象的顶点坐标为($\frac{2−m}{2}$,
$\frac{−m²+8m−20}{4}$).根据m＞2,$\frac{2−m}{2}$＜0,
$\frac{−m²+8m−20}{4}$=−$\frac{1}{4}$(m−4)²−1≤−1＜0,可知
二次函数y=x²+(m−2)x+m−4图象的顶点在
第三象限.
(3)设平移后图象对应的二次函数解析
式为y=x²+bx+c，其顶点坐标为
(−$\frac{b}{2}$,$\frac{4c−b²}{4}$).将(−$\frac{b}{2}$,$\frac{4c−b²}{4}$)代入y=−x−
2,得c=$\frac{b²+2b−8}{4}$，可得b的取值范围.所以
OB=−c=−$\frac{b²+2b−8}{4}$.如图②,过点A作AH⊥
OB于点H,则S△AOB=$\frac{1}{2}$OB.AH=−$\frac{1}{8}$(b+
1)²+$\frac{9}{8}$，由二次函数的性质可求得△AOB面积的
最大值.
解:
(1)把0(0,0)代入y=x²+(m−2)x+
m−4,