《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例8(2022.无锡)某农场计划建造一个矩
形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖
场一面靠墙(墙的长度为10m),另外三面用
栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积
之比为1:2的矩形,已知栅栏的总长度为
24m,设较小矩形的宽为xm(如图).
(1)若矩形养殖场的总面积为36m²,求此时
x的值.
(2)当x的值为多少时,矩形养殖场的总面
积最大？最大为多少？

答案： 解析:
(1)由题意，知较大矩形的宽为2xcm,长为
$\frac{24−x−2x}{3}$=(8−x)m.根据题意列出方程，解方
程取符合题意的解，即可得x的值.
(2)设矩形养
殖场的面积是ym²，根据墙的长度为10m,易得
0＜x≤$\frac{10}{3}$,根据题意列出关于x的函数解析式，由
二次函数的性质得当x=$\frac{10}{3}$时，矩形养殖场的总面
积最大，求出此时的总面积即可.
解:
(1)由题意,得较大矩形的宽为2xm,长
为$\frac{24−x−2x}{3}$=(8−x)m.
∴(x+2x)(8−
x)=36,解得x1=2,x2=6.经检验,当x=6
时,x+2x=18＞10,不符合题意，舍去.
∴x=2.
∴此时x的值为2.
(2)设矩形养殖场的总面积是ym².
∵墙的
长度为10m,
∴易得0＜x≤$\frac{10}{3}$.由题意，得
y=(x+2x)(8−x)=−3x²+24x=
−3(x−4)²+48.
∵−3＜0,
∴当x=$\frac{10}{3}$
时,y取最大值,最大值为−3×($\frac{10}{3}$−4)2+
48=$\frac{140}{3}$.
∴当x=$\frac{10}{3}$时,矩形养殖场的总面
积最大,最大为$\frac{140}{3}$m²².

典例9(2021.淮安)某超市经销一种商品，
每件的成本为50元.经市场调研，当该商品
每件的销售价为60元时，每个月可销售
300件，若每件的销售价每增加1元,则每个
月的销售量将减少10件.设该商品每件的销
售价为x元(x≥60),每个月的销售量为
y件.
(1)求y关于x的函数解析式.
(2)当该商品每件的销售价为多少元时，每
个月的销售利润最大？最大利润是多少？

答案： 解析:
(1)每个月的销售量=300件−10件×
(每件的销售价−660元),可列出y关于x的函函数
解析式.
(2)每个月的销售利润=每个月的销售
量×(每件的销售价一每件的成本)，建立每个月的
销售利润与该商品每件的销售价之间的函数模型，
再由函数的性质求最值.
解:
(1)由题意,得y=300−10(x−60)=
−10x+900.
∵−10x+900＞0,
∴x＜90.
又
∵x≥60,
∴:x的取值范围是60≤
x＜90.
(2)设每个月的销售利润为W元.由题意，
得W=(x−50)y=(x−50)(900−10x)=
−10x²+1400x−45000=−10(x−70)²+
4000.
∵−10＜0,
∴当x=70时,W最大=4000.
∴，当该商品每件的销售价为70元时，每个
月的销售利润最大，最大利润是4000元.