《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例6(2023.无锡改编)二次函数y=
a(x−1)(x−5)(a＞$\frac{1}{2}$)的图象与α轴交于
点A,B,与y轴交于点C,过点M(3,1)的直
线将△ABC分成面积相等的两个三角形，则
α的值为.

答案：
解析:令y=0,解得x=1或x=5.不妨设点A在
点B的左边,所以A(1,0),B(5,0).令x=0,则
y=5a,所以C(0,5a).所以易得直线BM对应的
函数解析式为y=−$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$,与y轴交于
点(0,$\frac{5}{2}$).因为a＞$\frac{1}{2}$,所以5a＞$\frac{5}{2}$.所以点M必
在△ABC内部.因为过点M的直线将△ABC分
成两个三角形，所以直线必过三角形的顶点.又因
为直线将△ABC分成面积相等的两个三角形，所
以过点M的直线必为△ABC的中线.①如图①，
直线AM过BC的中点，因为A(1,0),M(3,1),所
以直线AM对应的函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x−$\frac{1}{2}$.将
BC的中点坐标($\frac{5}{2}$,$\frac{5}{2}$a{代入y=$\frac{1}{2}$x−$\frac{1}{2}$,得a=
$\frac{3}{10}$＜$\frac{1}{2}$,不成立;②如图②，直线BM过AC中点
($\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$a{，所以直线BM对应的函数解析式为
y=−$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$.将AC中点坐标($\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$a)代入
y=−$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$,得a=$\frac{9}{10}$＞$\frac{1}{2}$,成立;③如图③,直线
CM过AB中点，AB中点坐标为(3,0),所以直线CM
与y轴平行,不成立.综上所述，a的值为$\frac{9}{10}$.

答案:$\frac{9}{10}$.

典例7(2022.南通)根据物理学规律，如果
不考虑空气阻力,以40m/s的速度将小球沿
与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高
度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间的
函数解析式为h=−5t²+20t.当飞行时间为
2s时,小球达到最高点.

答案： 解析:根据题意,得h=−5t²+20t=−5(t−2)²+20.
因为a=−5＜0,

所

以

当t=2时,h取得最大值,最
大值为20,即当飞行时间为2s时，小球达到最高点.
答案:2.