《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例4(2022.无锡)把二次函数y=x²+
4.x十m的图象向上平移1个单位长度,再向
右平移3个单位长度.如果平移后所得抛物
线与坐标轴有且只有一个公共点,那么m的
取值范围是m＞3.

答案： 解析:二次函数y=x²+4.x+m=(x+2)²+m−
4,由题意，得平移后的抛物线对应的函数解析式为
y=(x+2−3)²+m−4+1=x²−2x+m−2.因
为平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共
点,所以抛物线与x轴没有交点，即A=4−4(m一
2)＜0.所以m＞3.
答案:m＞3.

典例5(2023.海安一模)二次函数y=ax²十
bx十c(a＞0)的图象与x轴相交于A,B两
点,点C在二次函数图象上,且到x轴距离
为4,∠ACB=90°,则a的值为 ()
A.4
B.2
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$

答案：
解析:如图，作CD⊥x轴于点D,设A,B两点横坐
标为x和x2,C(m,−4).因为CD⊥x轴,所以
AD²+CD²=AC²,BD²+CD²=BC².因为∠ACB=
90°,所以AC2+BC²=AB².所以AD²+CD²+
BD²+CD²=AB².所以(m−x)²+4²+(x2−
m)²+4²=(x−x2)².整理,得m²−(x1+x2)m+
16+x1x2=0.因为x+x2=−$\frac{b}{a}$,xx2=$\frac{C}{a}$，所
以m²+$\frac{b}{a}$m+16+$\frac{C}{a}$=0.所以am²+bm+c=
−16a.因为点C(m，−4)在二次函数图象上，所以
am²+bm+c=−4.所以−16a=−4,即a=$\frac{1}{4}$.

答案:D.