《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例1(2023.扬州)已知二次函数y=
ax²−2x+$\frac{1}{2}$(a为常数,且a＞0),有下列结
论:①函数图象一定经过第一、二、四象限;
②函数图象一定不经过第三象限;③当x＜
0时,y随x的增大而减小;④当x＞0时,y
随x的增大而增大.其中,正确的是 (B)
A.①②
B.②③
C.②
D.③④

答案： 解析:因为α＞0，所以抛物线开口向上，对称轴为
直线x=$\frac{−2}{−2a}$=$\frac{1}{a}$＞0.当x＜$\frac{1}{a}$时,y随x的增大
而减小,当x≥$\frac{1}{a}$时,y随x的增大而增大.故③正
确，④错误.又因为c=$\frac{1}{2}$＞0,所以函数图象一定
不经过第三象限.因为△=b²−4ac=4−2a,且
a＞0,所以函数图象可能经过第一、二、四象限.故
①错误，②正确.
答案:B.

典例2(2023.邗江二模改编)关于x的二
次函数y=x²−mx+1,当x＜3时,y随x
的增大而减小,则常数m满足的条件是(D)
A.m=6
B.m＞6
C.m＞5
D.m≥6

答案： 解析:因为y=x²一mxc+1,所以抛物线开口向上，
对称轴为直线x=一$\frac{−m}{2×1}$=$\frac{m}{2}$.因为当x＜3时,y
随x的增大而减小,所以$\frac{m}{2}$≥3,即m≥6.
答案:D.

典例3(1)(2022.徐州)若二次函数y=
x²−2x−3的图象上有且只有三个点到
x轴的距离等于m,则m的值为4.
(2)(2022.盐城)若点P(m,n)在二次函数
y=x²+2x+2的图象上,且点P到y轴的
距离小于2,则n的取值范围是1≤n＜10.

答案： 解析:
(1)因为二次函数y=x²−2x−3=(x一
1)²−4,所以二次函数图象的顶点坐标为(1，−4).
当m＞4或m=0时,函数图象上有两个点到x轴
的距离等于m;当0＜m＜4时,函数图象上有四个
点到x轴的距离等于m;当m=4时,函数图象上
有三个点到x轴的距离等于m.
(2)因为二次函数
的解析式为y=x²+2x+2=(x+1)²+1,所以当
x=−1时,y的最小值为1.由题意，得−2＜m＜
2,当x=2时,y有最大值10,所以1≤n＜10.
答案:
(1)4.
(2)1≤n＜10.