《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例8 如图，在矩形ABCD中，AB = 6cm，BC = 12cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时点Q从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。设运动的时间为t s（0 ＜ t ＜ 6），试探究下列问题：
（1）几秒时，△PBQ为等腰三角形？
（2）几秒时，△PDQ的面积等于矩形ABCD的面积的$\frac{3}{8}$？
（3）△PDQ的面积能不能为26cm²？如果不能，请你求出△PDQ的面积的最小值。

答案： 解析：（1）先表示出PB，BQ的长，根据题意得出PB = BQ，建立方程求解即可。（2）先表示出AP，BP，BQ，CQ的长，再用面积的和差关系表示出$S_{△PDQ}$，最后根据面积关系建立方程求解即可。（3）先假设△PDQ的面积能为26cm²，建立方程，此时方程无解，即不能为26cm²，将（2）中的函数解析式配方即可求出最小值。
解：（1）
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ABC = 90°。由题意，得AP = t cm，BQ = 2t cm。
∴ PB = (6 - t)cm。
∵ △PBQ为等腰三角形，∠ABC = 90°，
∴ PB = BQ。
∴ 6 - t = 2t。
∴ t = 2，即2s时，△PBQ为等腰三角形。
（2）
∵ AP = t cm，BQ = 2t cm，
∴ BP = (6 - t)cm，CQ = (12 - 2t)cm。
∴ $S_{△PDQ} = S_{矩形ABCD} - (S_{△ADP} + S_{△BPQ} + S_{△CDQ}) = AB · BC - (\frac{1}{2}AP · AD + \frac{1}{2}BP · BQ + \frac{1}{2}CQ · CD) = AB · BC - \frac{1}{2}(AP · AD + BP · BQ + CQ · CD) = 6×12 - \frac{1}{2}[12t + (6 - t) · 2t + 6(12 - 2t)] = (t² - 6t + 36)$cm²。
∵ △PDQ的面积等于矩形ABCD的面积的$\frac{3}{8}$，
∴ $t² - 6t + 36 = \frac{3}{8}×6×12$，即$t² - 6t + 9 = 0$。
∴ $t_1 = t_2 = 3$。
∴ 3s时，△PDQ的面积等于矩形ABCD的面积的$\frac{3}{8}$。
（3）假设△PDQ的面积能为26cm²。由（2），知$S_{△PDQ} = (t² - 6t + 36)$cm²，
∴ $t² - 6t + 36 = 26$，即$t² - 6t + 10 = 0$。
∵ $Δ = 6² - 4×10 = -4 ＜ 0$，
∴ 此方程无解，即△PDQ的面积不能为26cm²。
∵ $t² - 6t + 36 = (t - 3)² + 27$，
∴ 当t = 3时，$t² - 6t + 36$有最小值27。
∴ △PDQ的面积的最小值为27cm²。