《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例6（鄂尔多斯中考）某宾馆共有50间房间供游客居住，每间房价不低于200元且不超过320元。如果房间有游客入住，那么宾馆需对每间房间每天支出20元的各种费用。已知游客居住房间数y（间）和每间房间定价x（元）满足一次函数关系，如图所示为y关于x的函数图象。
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围。
（2）当每间房间定价为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

答案： 解析：（1）利用待定系数法，把直线上的点(280, 40)，(290, 39)代入一般式$y = kx + b$，建立二元一次方程组，从而可求k与b的值。（2）利用关系式：总利润 = （每间房间定价 - 每间房间成本）×房间数，先建立总利润与每间房间定价之间的二次函数关系，再化成顶点式，结合自变量的取值范围求利润的最大值。
解：（1）设y关于x的函数解析式为$y = kx + b$。把(280, 40)，(290, 39)代入，得$\begin{cases}280k + b = 40 \\ 290k + b = 39\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -\frac{1}{10} \\ b = 68\end{cases}$，
∴ y与x之间的函数解析式为$y = -\frac{1}{10}x + 68$（200 ≤ x ≤ 320）。
（2）设宾馆的利润为w元，则$w = (x - 20)y = (x - 20)(-\frac{1}{10}x + 68) = -\frac{1}{10}x² + 70x - 1360 = -\frac{1}{10}(x - 350)² + 10890$。
∵ $-\frac{1}{10} ＜ 0$，
∴ 当x ＜ 350时，w随x的增大而增大。
∵ 200 ≤ x ≤ 320，
∴ 当x = 320时，w取得最大值，为10800。
∴ 当每间房间定价为320元时，宾馆的利润最大，最大利润是10800元。

典例7 某公司研发了一款成本为50元/个的新型玩具，投放市场进行试销售。其销售价不低于成本价，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%。市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系。
（1）求y关于x的函数解析式。
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价定为多少元时，每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少元？

答案： 解析：（1）由待定系数法求得y与x之间的函数解析式。（2）根据每天获得的销售利润 = 单个利润×每天销售数量，列方程解决问题。（3）先得到每天获得的销售利润关于销售单价的二次函数解析式，再借助配方法在函数自变量的取值范围内求得最大销售利润。
解：（1）设$y = kx + b$（k ≠ 0，b为常数）。
将(50, 160)，(80, 100)代入，
得$\begin{cases}50k + b = 160 \\ 80k + b = 100\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k = -2 \\ b = 260\end{cases}$。
∴ y关于x的函数解析式为$y = -2x + 260$。
（2）由题意，得$(x - 50)(-2x + 260) = 3000$。
化简，得$x² - 180x + 8000 = 0$，解得$x_1 = 80$，$x_2 = 100$。
∵ $x ≤ 50×(1 + 90\%) = 95$，
∴ $x = 100$不合题意，舍去。
∴ 销售单价应定为80元。
（3）设每天获得的销售利润为w元。
由题意，得$w = (x - 50)(-2x + 260) = -2x² + 360x - 13000 = -2(x - 90)² + 3200$。
∵ $a = -2 ＜ 0$，
∴ 抛物线开口向下。
∴ 当x = 90时，$w_{最大值} = 3200$。
∴ 当销售单价定为90元时，每天获得的销售利润最大，最大销售利润是3200元。