《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例5（2023·兰州）一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y（m）与离起跳点A的水平距离x（m）之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m。求：
（1）y关于x的函数解析式；
（2）运动员从起跳点到入水点的水平距离OB。

答案： 解析：（1）分析已知条件，得抛物线的对称轴为直线x = 1，点A的坐标为(0, 10)，抛物线过点(3, 7)，用待定系数法可确定y关于x的函数解析式。（2）点B的纵坐标为0，由此可求点B的横坐标，从而求得线段OB的长。
解：（1）由题意，得抛物线的对称轴为直线x = 1，且抛物线经过点(0, 10)，(3, 7)。设抛物线对应的函数解析式为$y = ax² + bx + c$，
则$\begin{cases}-\frac{b}{2a} = 1 \\ c = 10 \\ 9a + 3b + c = 7\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1 \\ b = 2 \\ c = 10\end{cases}$，
∴ y关于x的函数解析式为$y = -x² + 2x + 10$。
（2）令y = 0，则$-x² + 2x + 10 = 0$，解得$x = 1 + \sqrt{11}$或$x = 1 - \sqrt{11}$（不合题意，舍去）。
∴ 运动员从起跳点到入水点的水平距离OB为$(1 + \sqrt{11})$m。