《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例3 某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息（如图）：

信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品质量x（吨）之间满足二次函数关系y = ax² + bx。当x = 1时，y = 1.4；当x = 3时，y = 3.6。
信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与所售产品质量x（吨）之间满足正比例函数关系y = 0.3x。
根据以上信息，解答下面的问题：
（1）求二次函数的解析式；
（2）该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大（购进的全部售出），并求出最大利润。

答案： 解析：（1）用待定系数法求二次函数的解析式。（2）把两个函数的自变量分别用m和10 - m表示，将销售A，B两种产品的利润相加就是总利润，利用二次函数求最值的方法，找到实际问题的最值。
解：（1）根据题意，得$\begin{cases}a + b = 1.4 \\ 9a + 3b = 3.6\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -0.1 \\ b = 1.5\end{cases}$，
∴ 二次函数的解析式为$y = -0.1x² + 1.5x$。
（2）设A种产品的进货量是m吨，则B种产品的进货量是(10 - m)吨，销售A，B两种产品获得的利润之和为W万元。
∴ $W = (-0.1m² + 1.5m) + 0.3(10 - m) = -0.1m² + 1.2m + 3 = -0.1(m - 6)² + 6.6$。
又
∵ 0 ≤ m ≤ 10，
∴ 当m = 6时，$W_{最大值} = 6.6$。
∴ 10 - 6 = 4（吨）。
∴ 当A，B两种产品的进货量分别为6吨和4吨时，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元。

典例4 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长是12m，宽是4m。按照如图所示的平面直角坐标系，抛物线可以用$y = -\frac{1}{6}x² + bx + c$表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为$\frac{17}{2}$m。
（1）求该抛物线对应的解析式，并计算出拱顶D到地面OA的距离。
（2）一辆货车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m。如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？请说明理由。
（3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等。如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少？

答案： 解析：（1）根据题意，可得点B，C，B₁的坐标，从这三点的坐标中任选两个代入抛物线对应的解析式，求出b，c的值，再利用配方法确定出点D的坐标即可得出拱顶D到地面OA的距离。（2）隧道宽为12m，货车宽为4m，由双向车道得出横坐标为$\frac{12}{2} + 4 = 10$或$\frac{12}{2} - 4 = 2$。根据抛物线的对称性，易得横坐标为10或2时，对应的y值相等。求出y的值是否超过货车高的数值即可得到答案。（3）因为抛物线开口向下，函数有最大值，要使其对称点之间的距离最小，转化为求函数值为8时的两点之间的距离。
解：（1）由题意，得点B的坐标为(0, 4)，点C的坐标为$(3, \frac{17}{2})$，代入$y = -\frac{1}{6}x² + bx + c$，
∴ $\begin{cases}c = 4 \\ -\frac{1}{6}×3² + 3b + c = \frac{17}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 2 \\ c = 4\end{cases}$，
∴ 该抛物线对应的解析式为$y = -\frac{1}{6}x² + 2x + 4$。
∵ $y = -\frac{1}{6}x² + 2x + 4 = -\frac{1}{6}(x - 6)² + 10$，
∴ 当x = 6时，y = 10。
∴ 拱顶D到地面OA的距离为10m。
（2）这辆货车能安全通过。理由：当$x = \frac{12}{2} + 4 = 10$或$x = \frac{12}{2} - 4 = 2$时，根据抛物线的对称性，易得x = 10或x = 2时，对应的y值相等。$y = -\frac{1}{6}×10² + 2×10 + 4 = \frac{22}{3}$。
∵ $\frac{22}{3} ＞ 6$，
∴ 这辆货车能安全通过。
（3）当y = 8时，$-\frac{1}{6}x² + 2x + 4 = 8$，即$x² - 12x + 24 = 0$，解得$x_1 = 6 + 2\sqrt{3}$，$x_2 = 6 - 2\sqrt{3}$。
∴ $|x_1 - x_2| = 4\sqrt{3}$。
∴ 两排灯的水平距离最小是$4\sqrt{3}$m。