《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例2 某工厂制作A，B两种手工艺品，制作一件B比制作一件A多获利105元，获利30元的A与获利240元的B数量相等。
（1）制作一件A和一件B分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天可制作2件A或1件B。现在在不增加工人的情况下，增加制作C种手工艺品。已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等。设每天安排x人制作B，y人制作A，写出y与x之间的函数解析式。
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件。当每天制作5件时，每件获利不变。若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元。已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值。

答案： 解析：（1）根据数量关系，设未知数，列分式方程即可求解。（2）由A，C的数量相等，结合工作效率的关系，可得制作C的人数是A的2倍，根据三种手工艺品制作人数的和为65，从而得出y与x的函数解析式。（3）由于B每件获利随着x的变化而变化，得出B每件获利与x的关系，再根据总利润等于三种手工艺品的利润之和得出W与x的二次函数关系，但x取最大值时，由于y不为整数，因此要确定x为何整数时，y值也是整数，W最大。
解：（1）设制作一件A获利m元，则制作一件B获利(m + 105)元。
由题意，得$\frac{30}{m} = \frac{240}{m + 105}$，解得m = 15。
经检验，m = 15是原分式方程的解，且符合题意。
当m = 15时，m + 105 = 120，
∴ 制作一件A获利15元，制作一件B获利120元。
（2）由题意，得每天安排2y人制作C，于是有y + x + 2y = 65，
∴ y与x之间的函数解析式为$y = -\frac{1}{3}x + \frac{65}{3}$。
（3）由题意，得W = 15×2y + [120 - 2(x - 5)]x + 30×2y = -2x² + 130x + 90y。
又
∵ $y = -\frac{1}{3}x + \frac{65}{3}$，
∴ $W = -2x² + 130x + 90y = -2x² + 130x + 90(-\frac{1}{3}x + \frac{65}{3}) = -2x² + 100x + 1950$。
∵ 对称轴为直线$x = -\frac{100}{2×(-2)} = 25$，而当x = 25时，y的值不是整数，又
∵ 当x = 24时，y的值也不是整数，当x = 26时，y的值是整数，
∴ $W_{最大} = -2×26² + 100×26 + 1950 = 3198$。
∴ 获得的最大总利润为3198元，此时x = 26。