《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

某公园草坪的防护栏由 100 段形状相同的如图所示的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段防护栏需要间距 $ 0.4 \, m $ 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 $ 0.5 \, m $，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为(C)


A.$ 50 \, m $
B.$ 100 \, m $
C.$ 160 \, m $
D.$ 200 \, m $

答案： 解析：由题意，易得 $ B(0, 0.5) $，$ C(1, 0) $。设抛物线对应的解析式为 $ y = ax^{2} + c $，代入点 $ B $，$ C $ 的坐标，得 $ a = - \frac{1}{2} $，$ c = \frac{1}{2} $。所以抛物线对应的解析式为 $ y = - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2} $。当 $ x = 0.2 $ 时，$ y = 0.48 $；当 $ x = 0.6 $ 时，$ y = 0.32 $。所以 $ B_{1}C_{1} + B_{2}C_{2} + B_{3}C_{3} + B_{4}C_{4} = 2 × (0.48 + 0.32) = 1.6(m) $。所以这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 $ 1.6 × 100 = 160(m) $。
答案：C。

典例1 某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建墙的总长为50m。设饲养室的长为x m，占地面积为y m²。
（1）如图①，饲养室的长为多少时，占地面积最大？
（2）如图②，现要求在如图所示的位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大。小敏说：“只要饲养室的长比（1）中的长多2m就行了。”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确。

答案： 解析：（1）根据矩形的面积公式，先用含x的代数式表示出垂直于墙的一边的长，再利用长×宽得出y关于x的函数解析式，并将其转化为顶点式，即可求解。（2）平行于墙的长为x m，建筑材料只用了(x - 2)m，因此垂直于墙的一边的长度为$\frac{50 - (x - 2)}{2}$m，再根据面积公式即可列出函数解析式，配方求最值，最后看最值是否与小敏的说法一致即可。
解：（1）
∵ $y = x · \frac{50 - x}{2} = -\frac{1}{2}(x - 25)^2 + \frac{625}{2}$，
∴ 当x = 25时，y取得最大值。
∴ 当饲养室的长为25m时，占地面积最大。
（2）
∵ $y = x · \frac{50 - (x - 2)}{2} = -\frac{1}{2}(x - 26)^2 + 338$，
∴ 当x = 26时，y取得最大值。
∴ 当饲养室的长为26m时，占地面积最大。
∵ 26 - 25 = 1(m)，1 ≠ 2，
∴ 小敏的说法不正确。