《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

用一条长为 $ 40 \, cm $ 的绳子围成一个面积为 $ a \, cm^{2} $ 的矩形，则 $ a $ 的值不可能为(D)

A.20
B.40
C.100
D.120

答案： 解析：设所围成矩形的长为 $ x \, cm $，则宽为 $ (20 - x) \, cm $。由题意，得 $ a = x(20 - x) = - x^{2} + 20x $。因为 $ - 1 ＜ 0 $，所以 $ a $ 有最大值，即当 $ x = - \frac{20}{2 × (- 1)} = 10 $ 时，$ a_{最大值} = 100 $。因为 $ 120 ＞ 100 $，所以 $ a $ 的值不可能为 120。
答案：D。

(沈阳中考)某超市购进一批单价为 8 元的生活用品，如果按每件 9 元出售，那么每天可销售 20 件。经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高 1 元，其日销售量相应减少 4 件，则销售单价定为11元时，日销售利润最大。

答案： 解析：设销售单价为 $ x $ 元 $ (x \geq 9) $，日销售利润为 $ y $ 元，则 $ y = [20 - 4(x - 9)](x - 8) = - 4x^{2} + 88x - 448 = - 4(x - 11)^{2} + 36 $。$ \therefore $ 销售单价定为 11 元时，日销售利润最大。
答案：11。

（2023·本溪）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为 40 元，在销售过程中发现，月销量 $ y $（台）与销售单价 $ x $（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的 2 倍，其部分对应数据如下表：

（1）求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式。
（2）当护眼灯的销售单价定为多少元时，商店出售这种护眼灯所获得的月利润最大？最大月利润为多少元？

答案： 解：（1）由题意，设 $ y = kx + b(k \neq 0) $。
由表，知当 $ x = 50 $ 时，$ y = 90 $；当 $ x = 60 $ 时，$ y = 80 $。
代入 $ y = kx + b $，得 $ \begin{cases} 50k + b = 90, \\ 60k + b = 80, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = - 1, \\ b = 140. \end{cases} $
$ \therefore y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式为 $ y = - x + 140 $。
（2）设月利润为 $ W $ 元。
由题意，得 $ W = (x - 40)y = (x - 40)(- x + 140) = - x^{2} + 180x - 5600 = - (x - 90)^{2} + 2500 $。
$ \because $ 销售单价不低于进价，且不高于进价的 2 倍，
$ \therefore 40 \leq x \leq 80 $。
$ \because - 1 ＜ 0 $，
$ \therefore $ 当 $ 40 \leq x \leq 80 $ 时，$ W $ 随 $ x $ 的增大而增大。
$ \therefore $ 当 $ x = 80 $ 时，$ W $ 有最大值，最大值为 2400。
$ \therefore $ 当护眼灯的销售单价定为 80 元时，商店出售这种护眼灯所获得的月利润最大，最大月利润为 2400 元。