《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

心理学家发现，学生对概念的接受能力 $ y $ 与提出概念所用的时间 $ x $（分钟）之间满足函数关系 $ y = - 0.1x^{2} + 2.6x + 43(0 \leq x \leq 30) $。$ y $ 的值越大，表示接受能力越强。
（1）$ x $ 在什么取值范围内，学生的接受能力逐步增强？$ x $ 在什么取值范围内，学生的接受能力逐步减弱？
（2）第 10 分钟时，学生的接受能力是多少？
（3）在哪一时刻，学生的接受能力最强？

答案： 解析：（1）根据二次函数 $ y = - 0.1x^{2} + 2.6x + 43(0 \leq x \leq 30) $ 的增减性判断学生接受能力的变化情况。（2）求 $ x = 10 $ 时的函数值即可。（3）求函数 $ y = - 0.1x^{2} + 2.6x + 43(0 \leq x \leq 30) $ 取最大函数值时 $ x $ 的值即可。
解：（1）$ \because - \frac{b}{2a} = - \frac{2.6}{2 × (- 0.1)} = 13 $，$ - 0.1 ＜ 0 $，
$ \therefore $ 当 $ 0 \leq x ＜ 13 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，即学生的接受能力逐步增强。当 $ 13 \leq x \leq 30 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，即学生的接受能力逐步减弱。
（2）当 $ x = 10 $ 时，$ y = - 0.1 × 10^{2} + 2.6 × 10 + 43 = 59 $，
提示
如果自变量的取值范围有限制，而且顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，那么不能把抛物线的顶点的纵坐标作为函数的最大（小）值，此时必须要根据函数在对称轴两侧的增减性来具体分析，即用二次函数求解实际问题时，检验容易被忽略。求得的结果，除了要满足题中的数量关系，还要符合实际意义。
方法规律
在求解实际问题中的最值问题时，解题思路一般是先列二次函数的解析式，再用配方法把解析式化为 $ y = a(x - h)^{2} + k $ 的形式求解，或者用顶点坐标公式求出函数的最值。
$ \therefore $ 第 10 分钟时，学生的接受能力是 59。
（3）当 $ x = 13 $ 时，$ y $ 取得最大值，
$ \therefore $ 第 13 分钟时，学生的接受能力最强。