《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

例 1 已知函数 $ y = (m - 3)x^2 + 2x + 1 $ 的图象与 $ x $ 轴有交点，求 $ m $ 的取值范围。

答案： 正确解答：当 $ m - 3 = 0 $，即 $ m = 3 $ 时，该函数为一次函数 $ y = 2x + 1 $，图象与 $ x $ 轴有交点。
当 $ m - 3 \neq 0 $，即 $ m \neq 3 $ 时，$ \because $ 二次函数 $ y = (m - 3)x^2 + 2x + 1 $ 的图象与 $ x $ 轴有交点，
$ \therefore $ 相应的一元二次方程 $ (m - 3)x^2 + 2x + 1 = 0 $ 有 $ \Delta \geq 0 $，即 $ 2^2 - 4(m - 3) × 1 \geq 0 $，解得 $ m \leq 4 $。
$ \therefore m \leq 4 $ 且 $ m \neq 3 $。
综上所述，当 $ m \leq 4 $ 时，函数 $ y = (m - 3)x^2 + 2x + 1 $ 的图象与 $ x $ 轴有交点。

例 2 若二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $($ a \neq 0 $，$ a $，$ b $，$ c $ 为常数)的图象如图所示，则 $ ax^2 + bx + c = m $ 有实数根的条件是(A)


A.$ m \geq -2 $
B.$ m \geq 5 $
C.$ m \geq 0 $
D.$ m ＞ 4 $

答案： 正确解答：$ \because $ 这个函数有最小值 $ -2 $，即 $ y \geq -2 $，$ \therefore ax^2 + bx + c \geq -2 $。$ \therefore $ 当 $ m \geq -2 $ 时，$ ax^2 + bx + c = m $ 有实数根。故选 A。