《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 8 已知抛物线 $ y = x^2 - 2kx + k - 1 $。
(1) 求证：不论 $ k $ 取何值，抛物线与 $ x $ 轴必有两个交点；
(2) 设抛物线与 $ x $ 轴的两个交点分别为 $ (x_1,0) $，$ (x_2,0) $，求 $ x_1^2 + x_2^2 $ 的最小值。

答案： 解析：
(1) 令 $ x^2 - 2kx + k - 1 = 0 $，易得 $ \Delta = (2k - 1)^2 + 3 ＞ 0 $，故方程 $ x^2 - 2kx + k - 1 = 0 $ 总有两个不等的实数根，即抛物线与 $ x $ 轴必有两个交点。
(2) 令 $ y = 0 $，由根与系数的关系可得出 $ x_1 + x_2 = 2k $，$ x_1x_2 = k - 1 $，代入 $ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $ 中，再找出 $ x_1^2 + x_2^2 $ 的最小值。
解：
(1) $ \because $ 在关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 2kx + k - 1 = 0 $ 中，$ \Delta = (-2k)^2 - 4(k - 1) = (2k - 1)^2 + 3 ＞ 0 $，
$ \therefore $ 不论 $ k $ 取何值，方程 $ x^2 - 2kx + k - 1 = 0 $ 总有两个不等的实数根。
$ \therefore $ 不论 $ k $ 取何值，抛物线与 $ x $ 轴必有两个交点。
(2) 令 $ y = 0 $，得 $ x^2 - 2kx + k - 1 = 0 $。
$ \because $ 抛物线与 $ x $ 轴的两个交点分别为 $ (x_1,0) $，$ (x_2,0) $，
$ \therefore x_1 + x_2 = 2k $，$ x_1x_2 = k - 1 $。
$ \therefore x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4k^2 - 2k + 2 = 4(k - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{4} $。
$ \therefore $ 当 $ k = \frac{1}{4} $ 时，$ x_1^2 + x_2^2 $ 取最小值，为 $ \frac{7}{4} $。

典例 9 如图，抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴的两个交点分别为 $ A(x_1,0) $，$ B(x_2,0) $，且 $ x_1 + x_2 = 4 $，$ \frac{x_1}{x_2} = \frac{1}{3} $。
(1) 求此抛物线对应的解析式；
(2) 设此抛物线与 $ y $ 轴的交点为 $ C $，过点 $ B $，$ C $ 作直线，求此直线对应的解析式；
(3) 连接 $ AC $，求 $ \triangle ABC $ 的面积。

答案： 解析：
(1) 令 $ y = 0 $，则 $ -x^2 + bx + c = 0 $，则 $ x_1 + x_2 = b $，$ x_1x_2 = -c $。由 $ x_1 + x_2 = 4 $，得 $ b = 4 $，由 $ \frac{x_1}{x_2} = \frac{1}{3} $，得 $ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{10}{3} $，从而解得 $ c = -3 $。
(2) 由
(1) 得到抛物线对应的解析式，令 $ x = 0 $ 得到点 $ C $ 的坐标，令 $ y = 0 $ 得到点 $ B $ 的坐标，从而利用待定系数法求出直线 $ BC $ 对应的解析式。
(3) 利用三角形的面积公式，很容易求出 $ \triangle ABC $ 的面积。
解：
(1) 令 $ y = 0 $，则 $ -x^2 + bx + c = 0 $，由根与系数的关系，可知 $ x_1 + x_2 = b $，$ x_1x_2 = -c $。
$ \because x_1 + x_2 = 4 $，
$ \therefore b = 4 $。
$ \because \frac{x_1}{x_2} = \frac{1}{3} $，
$ \therefore \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{10}{3} $。
$ \therefore \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{10}{3} $，即 $ \frac{16 + 2c}{-c} = \frac{10}{3} $，
解得 $ c = -3 $。
$ \therefore $ 抛物线对应的解析式为 $ y = -x^2 + 4x - 3 $。
(2) 由
(1)，得抛物线对应的解析式为 $ y = -x^2 + 4x - 3 $。
令 $ x = 0 $，则 $ y = -3 $，
$ \therefore $ 点 $ C $ 的坐标为 $ (0,-3) $。
令 $ y = 0 $，则 $ -x^2 + 4x - 3 = 0 $，解得 $ x_1 = 1 $，$ x_2 = 3 $。
$ \therefore $ 点 $ B $ 的坐标为 $ (3,0) $，点 $ A $ 的坐标为 $ (1,0) $。
设直线 $ BC $ 对应的解析式为 $ y = kx + m $。
将 $ B(3,0) $，$ C(0,-3) $ 代入，得 $ \begin{cases} 3k + m = 0 \\ m = -3 \end{cases} $，
解得 $ \begin{cases} k = 1 \\ m = -3 \end{cases} $。
$ \therefore $ 直线 $ BC $ 对应的解析式为 $ y = x - 3 $。
(3) $ \because A(1,0) $，$ B(3,0) $，$ C(0,-3) $，
$ \therefore AB = 2 $，$ OC = 3 $。
$ \therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AB · OC = \frac{1}{2} × 2 × 3 = 3 $。