《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 5 二次函数 $ y = -x^2 + 2x + m $ 的部分图象如图所示，则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ -x^2 + 2x + m = 0 $ 的解为$ x_1 = -1 $，$ x_2 = 3 $。

答案： 解析：由图象，可知抛物线 $ y = -x^2 + 2x + m $ 的对称轴为直线 $ x = 1 $，与 $ x $ 轴的一个交点的坐标为 $ (3,0) $，故另一个交点的坐标为 $ (-1,0) $。因此当 $ x = -1 $ 或 $ x = 3 $ 时，$ -x^2 + 2x + m = 0 $，则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ -x^2 + 2x + m = 0 $ 的解为 $ x_1 = -1 $，$ x_2 = 3 $。
答案：$ x_1 = -1 $，$ x_2 = 3 $。

典例 6 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示，则当 $ y ＞ 0 $ 时，$ x $ 的取值范围是$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 5 $。

答案： 解析：由图象，可知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的对称轴为直线 $ x = 2 $，与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (5,0) $。根据抛物线的对称性，可知抛物线与 $ x $ 轴的另一个交点为 $ (-1,0) $。观察图象可得，当 $ y ＞ 0 $ 时，对应的函数图象在 $ x $ 轴的上方，此时 $ x $ 的取值范围是 $ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 5 $。
答案：$ x ＜ -1 $ 或 $ x ＞ 5 $。

典例 7(株洲中考)二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $($ a \neq 0 $)的图象如图所示，点 $ P $ 在 $ x $ 轴的正半轴上，且 $ OP = 1 $。设 $ M = ac(a + b + c) $，则 $ M $ 的取值范围是(D)

A. $ M ＜ -1 $
B. $ -1 ＜ M ＜ 0 $
C. $ M ＜ 0 $
D. $ M ＞ 0 $

答案： 解析：由 $ P(1,0) $ 及抛物线的位置，知当 $ x = 1 $ 时，$ y = ax^2 + bx + c $ 的值小于 0，即 $ a + b + c ＜ 0 $。因为抛物线开口向下，与 $ y $ 轴的交点在 $ x $ 轴上方，所以 $ a ＜ 0 $，$ c ＞ 0 $，即 $ ac ＜ 0 $。所以 $ M = ac(a + b + c) ＞ 0 $。
答案：D。