《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 3 若关于 $ x $ 的函数 $ y = (m - 1)x^2 - 6x + \frac{3}{2}m $ 的图象与 $ x $ 轴有且只有一个交点，则 $ m $ 的值为(C)

A.$ -2 $ 或 $ 3 $
B.$ -2 $ 或 $ -3 $
C.$ 1 $ 或 $ -2 $ 或 $ 3 $
D.$ 1 $ 或 $ -2 $ 或 $ -3 $

答案： 解析：当 $ m = 1 $ 时，函数解析式为 $ y = -6x + \frac{3}{2} $，该函数为一次函数，图象与 $ x $ 轴有且只有一个交点。
当 $ m \neq 1 $ 时，函数为二次函数，根据题意，得 $ \Delta = (-6)^2 - 4(m - 1) × \frac{3}{2}m = 0 $，解得 $ m = -2 $ 或 $ m = 3 $。
答案：C。

典例 4 已知抛物线 $ y = 2(k + 1)x^2 + 4kx + 2k - 3 $ 与 $ x $ 轴有两个公共点。
(1) 求 $ k $ 的取值范围。
(2) 当抛物线过原点时，
① 求 $ k $ 的值；
② 当 $ y ＞ 0 $ 时，求 $ x $ 的取值范围。

答案：
解析：
(1) 令 $ y = 0 $，则 $ 2(k + 1)x^2 + 4kx + 2k - 3 = 0 $。根据一元二次方程有两个不等的实数根列出不等式求解，同时要满足二次项系数不为 0。
(2) ① 把 $ (0,0) $ 代入解析式求出 $ k $ 的值。② 可结合二次函数的图象求出 $ x $ 的取值范围。
解：
(1) 令 $ y = 0 $，则 $ 2(k + 1)x^2 + 4kx + 2k - 3 = 0 $。
由题意，得 $ \Delta = b^2 - 4ac = (4k)^2 - 4 × 2(k + 1)(2k - 3) = 8k + 24 ＞ 0 $。
$ \therefore k ＞ -3 $。
又 $ \because 2(k + 1) \neq 0 $，
$ \therefore k \neq -1 $。
$ \therefore k $ 的取值范围是 $ k ＞ -3 $ 且 $ k \neq -1 $。
(2) ① 将 $ (0,0) $ 代入 $ y = 2(k + 1)x^2 + 4kx + 2k - 3 $，得 $ 2k - 3 = 0 $，解得 $ k = \frac{3}{2} $。
② 由 ①，可得抛物线对应的解析式为 $ y = 5x^2 + 6x $。
令 $ 5x^2 + 6x = 0 $，解得 $ x_1 = 0 $，$ x_2 = -\frac{6}{5} $。
画出抛物线的示意图如图所示，
由图，可知当 $ y ＞ 0 $ 时，$ x ＞ 0 $ 或 $ x ＜ -\frac{6}{5} $。