《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

(宿迁中考)二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象如图所示，有下列结论：① $ a ＞ 0 $；② $ b^{2} - 4ac ＞ 0 $；③ $ 4a + b = 1 $；④ 不等式 $ ax^{2} + (b - 1)x + c ＜ 0 $ 的解集为 $ 1 ＜ x ＜ 3 $。其中，正确的个数是(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 解析：① 抛物线开口向上，所以 $ a ＞ 0 $。故①正确。② 抛物线与 $ x $ 轴没有交点，所以 $ b^{2} - 4ac ＜ 0 $。故②错误。③ 由图象，知当 $ x = 1 $ 时，$ y = a + b + c = 1 $；当 $ x = 3 $ 时，$ y = 9a + 3b + c = 3 $。两式相减，得 $ 8a + 2b = 2 $，即 $ 4a + b = 1 $。故③正确。④ 因为点 $ (1, 1), (3, 3) $ 在直线 $ y = x $ 上。设 $ A(1, 1), B(3, 3) $，画直线 $ AB $。易见当 $ 1 ＜ x ＜ 3 $ 时，抛物线在直线下方，即 $ ax^{2} + bx + c ＜ x $。所以 $ ax^{2} + (b - 1)x + c ＜ 0 $。所以 $ ax^{2} + (b - 1)x + c ＜ 0 $ 的解集为 $ 1 ＜ x ＜ 3 $。故④正确。综上所述，①③④正确。
答案：C.

典例 1 若抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过点 $ A(-3,0) $，$ B(4,0) $，则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a(x - 1)^2 + c = b - bx $ 的解是$ x_1 = -2 $，$ x_2 = 5 $。

答案： 解析：关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a(x - 1)^2 + c = b - bx $ 变形为 $ a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c = 0 $，把抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 沿 $ x $ 轴向右平移 1 个单位长度得到函数 $ y = a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c $ 的图象。因为抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过点 $ A(-3,0) $，$ B(4,0) $，所以抛物线 $ y = a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c $ 与 $ x $ 轴的两个交点坐标为 $ (-2,0) $，$ (5,0) $。所以一元二次方程 $ a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c = 0 $ 的解为 $ x_1 = -2 $，$ x_2 = 5 $。
答案：$ x_1 = -2 $，$ x_2 = 5 $。

典例 2 已知二次函数 $ y = 2x^2 - mx - m^2 $。
(1) 求证：对于任意实数 $ m $，二次函数 $ y = 2x^2 - mx - m^2 $ 的图象与 $ x $ 轴总有公共点；
(2) 若这个二次函数的图象与 $ x $ 轴有两个公共点 $ A $，$ B $，且点 $ B $ 的坐标为 $ (1,0) $，求点 $ A $ 的坐标。

答案： 解析：
(1) 用含 $ m $ 的代数式表示 $ \Delta = b^2 - 4ac $，说明不论 $ m $ 为何值，都有 $ \Delta \geq 0 $ 即可。
(2) 把 $ B(1,0) $ 代入 $ y = 2x^2 - mx - m^2 $，可得 $ m $ 的值，然后把 $ m $ 的值及 $ y = 0 $ 代入二次函数的解析式可求出点 $ A $ 的坐标。
解：
(1) 令 $ y = 0 $，则 $ 2x^2 - mx - m^2 = 0 $。
$ \because \Delta = (-m)^2 - 4 × 2 × (-m^2) = 9m^2 \geq 0 $，
$ \therefore $ 对于任意实数 $ m $，二次函数 $ y = 2x^2 - mx - m^2 $ 的图象与 $ x $ 轴总有公共点。
(2) 由题意，得 $ 2 × 1^2 - m - m^2 = 0 $，整理，得 $ m^2 + m - 2 = 0 $，解得 $ m_1 = 1 $，$ m_2 = -2 $。
当 $ m = 1 $ 时，$ y = 2x^2 - x - 1 $。令 $ y = 0 $，则 $ 2x^2 - x - 1 = 0 $，解得 $ x_1 = 1 $，$ x_2 = -\frac{1}{2} $。
$ \therefore $ 点 $ A $ 的坐标为 $ (-\frac{1}{2},0) $。
当 $ m = -2 $ 时，$ y = 2x^2 + 2x - 4 $。令 $ y = 0 $，则 $ 2x^2 + 2x - 4 = 0 $，解得 $ x_3 = 1 $，$ x_4 = -2 $。
$ \therefore $ 点 $ A $ 的坐标为 $ (-2,0) $。
综上所述，点 $ A $ 的坐标为 $ (-\frac{1}{2},0) $ 或 $ (-2,0) $。