《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

用图象法求一元二次方程 $ x^{2} + 2x - 9 = 0 $ 的根的近似值（结果精确到 $ 0.1 $）。

答案： 解：设 $ y = x^{2} + 2x - 9 $，画出抛物线 $ y = x^{2} + 2x - 9 $ 如图所示。
根据图象，知一元二次方程 $ x^{2} + 2x - 9 = 0 $ 有两个不等的实数根，一个根在 $ -5 $ 与 $ -4 $ 之间，另一个根在 $ 2 $ 与 $ 3 $ 之间。先求在 $ -5 $ 与 $ -4 $ 之间的近似根，利用计算器进行探索，列表如下：
| $ x $ | $ -4.1 $ | $ -4.2 $ | $ ·s $ |
| --- | --- | --- | --- |
| $ y $ | $ -0.39 $ | $ 0.24 $ | $ ·s $ |
提示
一元二次方程是二次函数的特殊情况（即 $ y = 0 $ 时的情况）：一方面，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根；另一方面，也可以借助一元二次方程的根来判断二次函数图象的位置，使所画的图象更准确。
分析
先画出抛物线 $ y = x^{2} + 2x - 9 $，再观察函数图象与 $ x $ 轴公共点的位置，看其中一个公共点的横坐标介于哪两个整数之间，初步估值。在此基础上，借助计算器缩小范围，运用“夹逼法”进行取值计算，直到符合题目精确度的要求，能得出 $ y $ 值最接近 $ 0 $ 时所对应的 $ x $ 的值，这个值就是一元二次方程 $ x^{2} + 2x - 9 = 0 $ 的一个根的近似值。
因为 $ | - 0.39 | ＞ | 0.24 | $，所以 $ x \approx - 4.2 $。
同理可得另一个较大的近似根为 $ x \approx 2.2 $。
所以方程 $ x^{2} + 2x - 9 = 0 $ 的根的近似值为 $ x_{1} \approx - 4.2, x_{2} \approx 2.2 $。