《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例8 请你用一张矩形卡纸制作一个容积为$751cm^{3}$、高为$6cm$、底面的长比宽多$5cm$的无盖长方体小收纳盒.若设这个小收纳盒的底面宽为$x cm$，则根据题意列出方程，并将其化为一般形式.

答案： 解析：因为这个小收纳盒的底面宽为$x cm$，长比宽多$5cm$，所以长为$(x + 5)cm$.根据长方体的体积公式，可找出等量关系，列出方程.
解：$\because$这个小收纳盒的底面宽为$x cm$，
$\therefore$长为$(x + 5)cm$.
根据题意，可列方程为$6x(x + 5)=751$.
化成一般形式为$6x^{2}+30x - 751 = 0$.

典例9 定义：方程$cx^{2}+bx + a = 0$是一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的倒方程.已知$x = 2$是$x^{2}+2x + c = 0$的倒方程的解，求$c$的值.

答案： 解析：先写出$x^{2}+2x + c = 0$的倒方程为$cx^{2}+2x + 1 = 0$，然后把$x = 2$代入$cx^{2}+2x + 1 = 0$求出$c$的值即可.
解：$x^{2}+2x + c = 0$的倒方程为$cx^{2}+2x + 1 = 0$，把$x = 2$代入$cx^{2}+2x + 1 = 0$，得$4c + 4 + 1 = 0$，解得$c = -\frac{5}{4}$.

例1 已知关于$x$的一元二次方程$(k - 3)x^{2}+5x + k^{2}-9 = 0$的常数项为$0$，求$k$的值.

答案： 正确解答：$\because$关于$x$的一元二次方程$(k - 3)x^{2}+5x + k^{2}-9 = 0$的常数项为$0$，
$\therefore\begin{cases}k - 3\neq0,\\k^{2}-9 = 0,\end{cases}$解得$k = - 3$.

例2 一元二次方程$2 - 2x^{2}=3x$的二次项系数为$2$，则它的一次项系数为3，常数项为-2.

答案： 正确解答：$3$；$-2$.