《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例10如图①,抛物线y=ax²+bxc+6与
x轴交于点A(−2,0),B(6,0),与y轴交于
点C,顶点为D,直线AD交y轴于点E.
(1)求抛物线对应的解析式.
(2)如图②,将△AOE沿直线AD平移得
到△NMP.
①当点M落在抛物线上时，求点M的
坐标;
②在移动过程中,存在点M使△MBD为直
角三角形，请直接写出所有符合条件的点M
的坐标.

答案： 解析:
(1)可设交点式y=a(x+2)(x−6),由题
意，可得−12a=6,解之即可.
(2)①将点M的坐
标代入抛物线对应的解析式，即可求解.②分
∠BMD为直角、∠MBD为直角、∠MDB为直角
三种情况，分别求解即可.
解:
(1)由题意，可设抛物线对应的解析式为
y=a(x+2)(x−6).
∴y=ax²−4ax−
12a.
∴−12a=6,解得a=−$\frac{1}{2}$.
∴抛物线
对应的解析式为y=−$\frac{1}{2}$x²+2x+6.
(2)易得点D(2,8).设直线AD对应的解析
式为y=mAc十c.将点A,D的坐标代入,得
{08==−2m2+mc+,c,解得{Cm==42.,
∴:直线AD对应
的解析式为y=2x+4.
设点N的坐标为(n,2n+4).
∵MN=
OA=2,,
∴:点M的坐标为(n+2,2n+4).
①将点M的坐标代入抛物线对应的解析
式,得2n+4=−$\frac{1}{2}$(n+2)²+2(n+2)+6,
解得n=−2±2√3.
∴点M的坐标为(2√3，
4√3)或(−2√3,−4√3).
②根据题意，得M(n+2,2n+4),B(6,0),
D(2,8),则BD²=(6−2)²+8²2,MB²=(n−
4)²+(2n+4)²,MD²=n²+(2n−4)².
当∠BMD为直角时,由勾股定理，得(6一
2)²+8²=(n−4)²+(2n+4)²+n²+(2n−
4)²,解得n=$\frac{2±2√21}{5}$.此时点M的坐标为
{$\frac{12+2√21}{5}$,$\frac{24+4√21}{5}$) 或 ($\frac{12−2√21}{5}$,
$\frac{24−4√21}{5}$}.
当∠MBD为直角时,同理可得n=−4.此时
点M的坐标为(−2,−4).
当∠MDB为直角时,同理可得n=$\frac{8}{3}$.此时
点M的坐标为($\frac{14}{3}$,$\frac{28}{3}$).
综上所述,点M的坐标为(−2,−4)或($\frac{14}{3}$,
$\frac{28}{3}$)或($\frac{12+2√21}{5}$,$\frac{24+4√21}{5}$)或($\frac{12−2√21}{5}$,
24−4√21
5 {+

典例11如图①,抛物线y=ax²+bx十c(a≠
0)的顶点为M(1,9),经过抛物线上的两点
A(−3,−7)和B(3,m)的直线交抛物线的
对称轴于点C.
(1)分别求抛物线和直线AB对应的解析式.
(2)在抛物线上A,M两点之间的部分(不包
含A,M两点)是否存在点D,使得S△DAC=
2S△DCM？若存在,求出点D的坐标;若不存
在,请说明理由.
(3)若点P在抛物线上,点Q在x轴上,当
以A,M,P，Q为顶点的四边形是平行四边
形时，直接写出满足条件的点P的坐标.

答案： 解析:
(1)设抛物线对应的解析式为y=a(x一
1)²+9,即可求解.
(2)设点D的坐标，根据
S△DAC=2S△DCM列出方程即可求解.
(3)分AM是
平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线
两种情况，分别求解即可.
解:
(1)设抛物线对应的解析式为y=a(x一
1)²+9,
将点A的坐标代入,解得a=−1.
∴抛物线对应的解析式为y=−x²+2x+8.
当x=3时,y=5,
∴B(3,5).
由点A,B的坐标，易得直线AB对应的解析
式为y=2x−1.
(2)存在.二次函数图象的对称轴为直线
x=1,
∴C(1,1).如图②,过点D作y轴的
平行线交AB于点H.设D(x，一x²+2x十
8),则H(x,2x−1).
∵S△DAC=2S△DCM,
∴S△DAC=$\frac{1}{2}$DH.(xc−xA)=$\frac{1}{2}$(−x²+
2x+8−2x+1)×(1+3)=2×$\frac{1}{2}$×(9−
1)×(1−x),解得x1=−1,x2=5(不合题
意，舍去).
当x=−1时,−x²+2x+8=5,
∴D(−1,5).
(3)(6,−16)或(−4,−16)或(1+$\sqrt{7}$,2)或
(1−$\sqrt{7}$,2).