《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例6二次函数y=ax²+bx(a≠0)的图象
如图所示,则一次函数y=ax十b的图象大
致是 (D)

答案： 解析:由二次函数的图象，得出a＜0，−$\frac{6}{2a}$＜0,则
b＜0,所以直线y=ax十b经过第一=四象限.
所以只有选项D符合题意.
答案:D.

典例7已知某二次函数图象的对称轴是直线
x=2,且图象在x轴上截得的线段长为6,与
y轴的交点为(0，−2).求此二次函数的解
析式.

答案： 解析:由对称轴是直线x=2和图象在x轴上截得
的线段长为6,可知抛物线与x轴的两个交点坐标
为(−1,0)，(5,0),然后设交点式来求解.
解:
∵抛物线的对称轴是直线x=2,且图象
在x轴上截得的线段长为6，
∴:抛物线与x轴的两个交点坐标为(−1,
0),(5,0).
设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x−5).
将点(0,−2)代入,得−2=−5a，
∴a=$\frac{2}{5}$.
∴:二次函数的解析式为y=$\frac{2}{5}$(x+1)(x−
5),即y=$\frac{2}{5}$x²−−$\frac{8}{5}$x−2.

1.与线段综合
典例8如图①,抛物线C1:y=x²−2x与抛
物线C2:y=ax²十bx开口大小相同、方向相
反，它们相交于O,C两点，且分别与x轴的
正半轴交于点B,A,OA=2OB.
(1)求抛物线C2对应的解析式.
(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，
使PA十PC的值最小？若存在,求出点P
的坐标;若不存在,请说明理由.

答案： 解析:
(1)抛物线C1,C2开口大小相同、方向相反，
则a=−1,将点A的坐标代入抛物线C2对应的解
析式，即可求解.
(2)作点C关于抛物线C2的对称
轴对称的点C',连接AC'交抛物线C2的对称轴于
点P，此时PA十PC的值最小,即可求解.
解:
(1)令y=x²−2x=0,则x=0或x=2,
∴B(2,0).
∴OB=2.
∵抛物线C1,C2开
口大小相同、方向相反，
∴a=−1.
∵OA=
2OB,
∴OA=4.
∴A(4,0).将点A的坐标
代入抛物线C2对应的解析式,得−16+4b=
0,解得b=4.,
∴:抛物线C2对应的解析式为
y=−x²+4x.
(2)存在.联立抛物线C1,C2对应的解析式，
得{yy==x−²x−²2+x4,x,解得{xy11==00,,{yx22==33.,
∴点C的坐标为(3,3).易知抛物线C2的对
称轴为直线x=2.如图②,作点C关于抛物
线C2的对称轴对称的点C'(1,3),连接AC"
交抛物线C2的对称轴于点P,此时PA十
PC的值最小,即线段AC'的长.易得AC'=
$\sqrt{(4−1)²+3²}$=3$\sqrt{2}$,此时点P的坐标为
(2,2).
方法归纳N
利用对称求两条线段和的最小值的方法
求两条线段和的最小值问题，通常是作其中
一点美于动点所在直线的对称点，利用“两点之
间，线段最短”进行求解,本题中，由抛物线的对
称性可作出与点C关于对称轴对称的点C'，连
接AC',则易得使PA十PC的值最小的点P,