《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

示例10
根据已知条件确定下面二次函数的解析式：
（1）二次函数的图象经过 $ A(0,3) $，$ B(1,4) $，$ C(-2,13) $ 三点；
（2）二次函数图象的顶点坐标是 $ (1,-3) $，且经过点 $ P(2,0) $。

答案：
解析：
（1）根据给出的三个点可用“一般式”，即设 $ y = ax^2 + bx + c $，分别将三个点的坐标代入，构建三元一次方程组解题。
（2）设顶点式 $ y = a(x - h)^2 + k $，将顶点坐标 $ (1,-3) $ 代入，消去 $ h $，$ k $，再将 $ (2,0) $ 代入，求出 $ a $ 后即可得到答案。
解：
（1）设二次函数的解析式为 $ y = ax^2 + bx + c $。根据题意，得 $ \begin{cases} c = 3, \\ a + b + c = 4, \\ 4a - 2b + c = 13, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = 2, \\ b = -1, \\ c = 3. \end{cases} $ $ \therefore $ 二次函数的解析式为 $ y = 2x^2 - x + 3 $。
（2）设二次函数的解析式为 $ y = a(x - h)^2 + k $。$ \because $ 图象的顶点坐标是 $ (1,-3) $，$ \therefore h = 1 $，$ k = -3 $。$ \therefore $ 二次函数的解析式为 $ y = a(x - 1)^2 - 3 $。又 $ \because $ 图象经过点 $ P(2,0) $，$ \therefore (2 - 1)^2a - 3 = 0 $，解得 $ a = 3 $。$ \therefore $ 二次函数的解析式为 $ y = 3(x - 1)^2 - 3 $，即 $ y = 3x^2 - 6x $。