《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

示例9
已知抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + x - 4 $。
（1）用配方法求出它的对称轴和顶点坐标。
（2）当 $ x $ 为何值时，$ y $ 有最大值或最小值？并求出最大值或最小值。

答案： 解析：
（1）
① 提出二次项系数
② 加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方
③ 整理
④ 由抛物线的顶点式得出它的对称轴与顶点坐标
（2）
① 由二次项系数的正负性确定抛物线的开口方向
② 由抛物线的开口方向确定 $ y $ 有最大值还是最小值
③ 由抛物线的顶点坐标得出 $ x $ 的值及与之对应的最值 $ y $
解：
（1）$ y = -\frac{1}{2}x^2 + x - 4 = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) - 4 = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) - 4 = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{2} - 4 = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 - \frac{7}{2} $，$ \therefore $ 对称轴是直线 $ x = 1 $，顶点坐标是 $ (1,-\frac{7}{2}) $。
（2）当 $ x = 1 $ 时，$ y $ 有最大值，为 $ -\frac{7}{2} $。