《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

2. 方程的根为字母
典例4 若$m$是一元二次方程$2x^{2}-3x - 1 = 0$的一个根，则$6m^{2}-9m + 21$的值为24.

答案： 解析：因为$m$是一元二次方程$2x^{2}-3x - 1 = 0$的一个根，所以$2m^{2}-3m - 1 = 0$.所以$2m^{2}-3m = 1$.所以$6m^{2}-9m + 21 = 3(2m^{2}-3m)+21 = 24$.
答案：$24$.

典例5 已知实数$a$是一元二次方程$x^{2}-8089x + 1 = 0$的一个根，求代数式$a^{2}-8088a+\frac{8089}{a^{2}+1}$的值.

答案：
解析：根据方程根的定义，$a$是一元二次方程的一个根，则$a^{2}-8089a + 1 = 0$，然后根据需要将式子变形，即可求解.
解：$\because a$是方程$x^{2}-8089x + 1 = 0$的一个根，
$\therefore a^{2}-8089a + 1 = 0$.
$\therefore a^{2}-8089a = - 1$，$a^{2}+1 = 8089a$.
$\therefore a^{2}-8088a+\frac{8089}{a^{2}+1}=a^{2}-8089a + a+\frac{8089}{a^{2}+1}=-1 + a+\frac{1}{a}=-1+\frac{a^{2}+1}{a}=-1+\frac{8089a}{a}=-1 + 8089 = 8088$.

典例6 已知$m\neq2$，关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx + 2 = 0$与$x^{2}+2x + m = 0$有一个公共根，则此公共根是1，$m$的值是-3.

答案： 解析：设两方程的公共根是$t$，所以$t^{2}+mt + 2 = 0$，$t^{2}+2t + m = 0$.两式相减，得$(m - 2)t = m - 2$.因为$m\neq2$，所以$t = 1$.把$t = 1$代入$t^{2}+mt + 2 = 0$，得$1 + m + 2 = 0$，解得$m = - 3$.所以两方程的公共根是$1$，$m$的值是$-3$.
答案：$1$；$-3$.

典例7 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“青春杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排$21$场比赛，应邀请多少支球队参赛？设邀请$x$支球队参赛，根据题意，可列方程为$\frac{1}{2}x(x - 1)=21$.

答案： 解析：全部比赛的场数为$21$，每支球队都要与其他$(x - 1)$支球队各赛一场，因为每两队之间的比赛只有一场，所以全部比赛共$\frac{1}{2}x(x - 1)$场，列方程为$\frac{1}{2}x(x - 1)=21$.
答案：$\frac{1}{2}x(x - 1)=21$.