《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

示例8
已知抛物线 $ y = a(x + h)^2 + k(a \neq 0) $ 是由抛物线 $ y = x^2 $ 先向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度得到的。
（1）求 $ a $，$ h $，$ k $ 的值。
（2）在同一平面直角坐标系中，画出函数 $ y = a(x + h)^2 + k(a \neq 0) $ 与 $ y = x^2 $ 的图象。
（3）观察函数 $ y = a(x + h)^2 + k(a \neq 0) $ 的图象，当 $ x $______时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大；当 $ x $______时，函数 $ y $ 有最______值，最______值是______。
（4）观察函数 $ y = a(x + h)^2 + k(a \neq 0) $ 的图象，写出对于任意 $ x $ 的值，$ y $ 的取值范围。

答案：
解析：
（1）根据题中要求的平移方法，可得平移后的抛物线对应的解析式为 $ y = (x - 1)^2 + 2 $，由此得到 $ a $，$ h $，$ k $ 的值。
（2）由 $ x $，$ y $ 的对应值，找几个特殊点（最好是坐标为整数的点）画图。
（3）找出对称轴，由二次函数的性质解答问题。
（4）观察得函数 $ y = (x - 1)^2 + 2 $ 的图象上所有点的纵坐标均不小于 2，由此得到答案。
解：
（1）由题意，得到抛物线 $ y = (x - 1)^2 + 2 $，$ \therefore a = 1 $，$ h = -1 $，$ k = 2 $。
（2）函数 $ y = (x - 1)^2 + 2 $ 与 $ y = x^2 $ 的图象如图所示。
（3）$ ＞ 1 $；$ = 1 $；小；小；$ 2 $。
（4）由图象，可知对于任意 $ x $ 的值，$ y $ 的取值范围是 $ y \geq 2 $。