《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

示例5
求下面抛物线对应的解析式：
（1）与抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 3 $ 的形状相同，开口方向相反，顶点坐标是 $ (0,-5) $ 的抛物线；
（2）顶点坐标是 $ (0,1) $，且经过点 $ (3,-2) $ 的抛物线。

答案： 解析：
（1）先由抛物线的形状及开口方向确定 $ a $ 的值，再根据顶点坐标确定 $ k $ 的值。
（2）先由顶点坐标求 $ k $ 的值，再设出解析式，最后将已知点代入求 $ a $ 的值。
解：
（1）$ \because $ 与抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 3 $ 的形状相同，开口方向相反，$ \therefore $ 所求抛物线对应的解析式的二次项系数为 $ \frac{1}{2} $。又 $ \because $ 顶点坐标是 $ (0,-5) $，$ \therefore $ 所求抛物线对应的解析式为 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 5 $。
（2）$ \because $ 顶点坐标是 $ (0,1) $，$ \therefore $ 所求抛物线对应的解析式可设为 $ y = ax^2 + 1 $。又 $ \because $ 该抛物线经过点 $ (3,-2) $，$ \therefore 9a + 1 = -2 $，解得 $ a = -\frac{1}{3} $。$ \therefore $ 所求抛物线对应的解析式为 $ y = -\frac{1}{3}x^2 + 1 $。