《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

示例3 下列哪些数是一元二次方程 $ x^{2}-2x - 3 = 0 $ 的根？
$ -4 $，$ -1 $，$ 2 $，$ 3 $。

答案： 解析：根据一元二次方程根的定义，一一代入检验。
解：分别将这 4 个数代入方程，一一验证，发现当 $ x = -1 $ 或 $ x = 3 $ 时，方程的左边等于右边，
$ \therefore -1 $，$ 3 $ 是方程的根。
$ \because $ 将 $ x = -4 $，$ x = 2 $ 代入方程，方程的左边都不等于右边，
$ \therefore -4 $，$ 2 $ 不是方程的根。

示例4 (宿迁中考)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+ax - 6 = 0 $ 的一个根是 $ x = 3 $，则 $ a = $-1。

答案： 解析：直接把 $ x = 3 $ 代入方程 $ x^{2}+ax - 6 = 0 $ 得到关于 $ a $ 的一次方程 $ 9 + 3a - 6 = 0 $，解得 $ a = -1 $。
答案：-1.

典例1 已知关于$x$的方程$(m - 1)x^{m^{2}+1}+2x - 3 = 0$是一元二次方程，则$m$的值为-1.

答案： 解析：根据一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是$2$，可知$m^{2}+1 = 2$且$m - 1\neq0$，解得$m = - 1$.
答案：$-1$.

1. 方程的根为常数
典例2 如果$x = 4$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}+ax + 2b = 0$的解，那么$2a + b$的值为(-8)
A.$-2$
B.$-3$
C.$-1$
D.$-8$

答案： 解析：先把$x = 4$代入方程$x^{2}+ax + 2b = 0$，得$16 + 4a + 2b = 0$.整理，得$4a + 2b = - 16$.化简，得$2a + b = - 8$.
答案：D.

典例3(2023·枣庄)若$x = 3$是关于$x$的方程$ax^{2}-bx = 6$的解，则$2023 - 6a + 2b$的值为2019.

答案： 解析：将$x = 3$代入原方程，得$9a - 3b = 6$，即$3a - b = 2$，所以$2023 - 6a + 2b = 2023 - 2(3a - b)=2023 - 2×2 = 2019$.
答案：$2019$.