《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

整体思想在一元二次方程中的应用
整体思想是指从问题的整体性质出发，突出对问题中的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的联系，对其进行恒等变形，然后进行整体代换，使问题易于解决。本章中涉及的整体思想主要是利用一元二次方程的恒等变形，不解方程而达到求值的目的。
例3 若$x^2 - x - 2 = 0$，求$\frac{x^2 - x + 2\sqrt{3}}{(x^2 - x)^2 - 1 + \sqrt{3}}$的值。

答案： 解析：将一元二次方程$x^2 - x - 2 = 0$移项后，得$x^2 - x = 2$，把$x^2 - x$作为一个整体，代入所求的代数式中求值。
解：由$x^2 - x - 2 = 0$，得$x^2 - x = 2$，$\therefore \frac{x^2 - x + 2\sqrt{3}}{(x^2 - x)^2 - 1 + \sqrt{3}} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{2^2 - 1 + \sqrt{3}} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2×(1 + \sqrt{3})}{\sqrt{3}×(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。
非常点评：这类题要将已知条件中的某个代数式看成一个整体。有些题目给出有关的一元二次方程的条件，但解题时往往不是去解这个一元二次方程，而是把方程适当变形后进行整体代换，从而使问题易于解决。

例4 先阅读材料，再解答问题：
在学习了一元二次方程的解法后，利用课后时间，数学兴趣小组的同学对一元四次方程$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$的解法进行了如下探究：根据该方程的特点，可以把$x^2$视为一个整体，然后设$x^2 = y$，则$x^4 = y^2$，原方程可化为$y^2 - 5y + 4 = 0$，解得$y_1 = 1$，$y_2 = 4$。
当$y = 1$时，$x^2 = 1$，$\therefore x = ±1$。
当$y = 4$时，$x^2 = 4$，$\therefore x = ±2$。
$\therefore$原方程的解为$x_1 = 1$，$x_2 = -1$，$x_3 = 2$，$x_4 = -2$。
仿照以上方法解方程：$(x^2 - x)^2 + (x^2 - x) - 6 = 0$。

答案： 解析：设$x^2 - x = t$，原方程可化为关于$t$的一元二次方程，从而可以求出$t$的值，再代入$x^2 - x = t$便可求出$x$的值。
解：设$x^2 - x = t$，原方程可化为$t^2 + t - 6 = 0$，$\therefore (t + 3)(t - 2) = 0$。$\therefore t_1 = -3$，$t_2 = 2$。$\therefore$当$t = -3$时，$x^2 - x = -3$，此方程无解；当$t = 2$时，$x^2 - x = 2$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -1$。$\therefore$原方程的解为$x_1 = 2$，$x_2 = -1$。
非常点评：本题的解题关键是将$x^2 - x$看成整体，将一元四次方程转化为一元二次方程。

分类思想在一元二次方程中的应用
在解决一个问题时，若无法用同一种方法解决，而需要用一个标准将问题划分成几个能用不同方法解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决，这就是分类思想。在本章中，利用根的判别式来判断一元二次方程根的情况，判定含有字母系数的方程是否为一元二次方程，解决含有字母系数的一元二次方程问题时，一般要考虑字母系数的所有可能情况，经常需要分类讨论。另外用一元二次方程根的情况来解决等腰三角形、直角三角形等问题时也需要分类讨论。
例5 已知$\triangle ABC$的两边$AB$，$AC$的长是关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + k(k + 1) = 0$的两个实数根，第三边$BC$的长为5。
（1）当$k$为何值时，$\triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形？
（2）当$k$为何值时，$\triangle ABC$是等腰三角形？求出此时$\triangle ABC$的周长。

答案： 解析：（1）根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再借助勾股定理与乘法公式构造出与$k$有关的方程求解。（2）根据等腰三角形的性质，分情况讨论：①$BC$为底；②$BC$为腰，再由根与系数的关系得出$k$的值。
解：（1）$\because \triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形，$BC = 5$，$\therefore AB^2 + AC^2 = 25$。$\because AB$，$AC$的长是关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2k + 1)x + k(k + 1) = 0$的两个实数根，$\Delta = 1 ＞ 0$，$\therefore AB + AC = 2k + 1$，$AB·AC = k^2 + k$。$\because AB^2 + AC^2 = (AB + AC)^2 - 2AB·AC$，$\therefore (2k + 1)^2 - 2(k^2 + k) = 25$。整理，得$k^2 + k - 12 = 0$，解得$k_1 = 3$，$k_2 = -4$（不合题意，舍去）。$\therefore$当$k = 3$时，$\triangle ABC$是以$BC$为斜边的直角三角形。
（2）$\because \triangle ABC$是等腰三角形，$\therefore$当$BC$为底，即$AB = AC$时，$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。$\therefore (2k + 1)^2 - 4(k^2 + k) = 0$，此方程无解。当$BC$为腰，假设$AB = BC$时，即$AB = 5$，$\therefore 5 + AC = 2k + 1$，$5AC = k^2 + k$，解得$k_1 = 5$，$k_2 = 4$。$\therefore AC = 6$或4。$\therefore$当$k = 5$或4时，$\triangle ABC$是等腰三角形，$\triangle ABC$的周长为16或14。
非常点评：涉及等腰三角形的问题时，在没有指明底或腰的情况下，通常需要分类讨论来求解，同时还需要对所求的解结合三角形的三边关系进行取舍。