《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

转化思想在一元二次方程中的应用
转化思想就是把未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，本章中的转化思想主要体现在将一元二次方程利用直接开平方法、配方法转化为求平方根问题或者利用因式分解法将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解等。
例1 解方程：$9(x + 1)^2 = (2x - 5)^2$。

答案： 解析：方法一：方程两边同时开平方：$3(x + 1) = ±(2x - 5)$，再解两个一元一次方程；方法二：原方程即$9(x + 1)^2 - (2x - 5)^2 = 0$，用平方差公式分解因式，把一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解一元一次方程，求得一元二次方程的解。
解：方法一：开平方，得$3(x + 1) = 2x - 5$或$3(x + 1) = -(2x - 5)$，解得$x_1 = -8$，$x_2 = \frac{2}{5}$。方法二：原方程可化为$9(x + 1)^2 - (2x - 5)^2 = 0$。分解因式，得$[3(x + 1) + (2x - 5)][3(x + 1) - (2x - 5)] = 0$，则$(5x - 2)(x + 8) = 0$。$\therefore 5x - 2 = 0$或$x + 8 = 0$，解得$x_1 = \frac{2}{5}$，$x_2 = -8$。
非常点评：解题的关键是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，而转化的方法有两种：直接开平方法、因式分解法，转化的目的是将问题转化为我们所熟知的一元一次方程，这种将未知转化为已知的方法也叫“化归”，是数学这门学科知识推进的主要方法。

数学建模思想在一元二次方程中的应用
在解决实际问题时，通过对已知和未知的分析，建立与数学知识的联系，转化为相应的数学问题，从数学的角度找出问题的答案，使问题得以解决，这种思想称为数学建模思想。
例2 某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出$x$个支干，每个支干上再长出$x$个小分支。若在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，则$x =$6。

答案： 解析：根据在1个主干上的主干、支干和小分支的数量之和是43个，得$1 + x + x^2 = 43$，解得$x_1 = 6$，$x_2 = -7$(不合题意，舍去)。
答案：6。
非常点评：建立一元二次方程数学模型解决实际问题，树枝的主干、支干和小分支不同于传播问题，因为主干生出支干、支干生出小分支后，就不再继续分支生长。