《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例12（2022·泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修建同样宽的道路，余下的铺上草坪。要使草坪的面积为$1260m^2$，道路的宽应为多少？

答案： 解析：可设道路的宽为$x$m，则草坪的长为$(50 - 2x)$m，宽为$(38 - 2x)$m，利用草坪面积建立关于$x$的一元二次方程即可求解。
解：设道路的宽为$x$m，则草坪的长为$(50 - 2x)$m，宽为$(38 - 2x)$m。由题意，得$(50 - 2x)(38 - 2x) = 1260$，解得$x_1 = 4$，$x_2 = 40$（不合题意，舍去）。$\therefore x = 4$。$\therefore$道路的宽应为4m。
非常点评：在利用一元二次方程解决实际问题时，注意剔除不合题意的根，如本题中的$x = 40$，由于$2x = 2×40 = 80 ＞ 38$，故$x = 40$不合题意，舍去。切忌随意回答“道路的宽应为4m或40m”。

典例13(2022·南通)李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元。从1月到3月，月平均增长率是(B)
A.10.5%
B.10%
C.20%
D.21%

答案： 解析：设月平均增长率是$x$。由题意，得$3000(1 + x)^2 = 3630$，解得$x_1 = 0.1 = 10\%$，$x_2 = -2.1$(不合题意，舍去)。所以月平均增长率为10%。
答案：B.
非常点评：跨度为2(如本题中的2月、3月共2个月)的增长率问题的相等关系是起始数×$(1 +$月平均增长率$)^2 =$最终数，如本题的起始数是1月的盈利额3000元，而最终数为3月的盈利额3630元。利用这一相等关系，解增长率问题会事半功倍。

典例14（2023·滨海模拟）某服装销售商用48000元购进了一批时尚新款服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价贵了10元。
（1）该销售商第一次购进了这种服装多少件？每件的进价多少元？
（2）该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件。依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应为多少？

答案： 解析：（1）设第一次购进了这种服装$x$件，根据关键描述语“第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价贵了10元”列出方程并解答。（2）设销售价为$t$元/件，则每天的销售数量为$80 + \frac{300 - t}{10}×20 = (680 - 2t)$件。根据利润、销售数量以及销售价格的关系列出方程并解答。
解：（1）设第一次购进了这种服装$x$件。由题意，可得$\frac{48000}{x} + 10 = \frac{100000}{2x}$，解得$x = 200$。经检验，$x = 200$是方程的解，且符合题意。$\therefore 48000 ÷ 200 = 240$（元）。$\therefore$第一次购进了这种服装200件，每件的进价240元。
（2）设销售价为$t$元/件，则每天的销售数量为$80 + \frac{300 - t}{10}×20 = (680 - 2t)$件。由题意，得$[t - (240 + 10)](680 - 2t) = 3600$。整理，得$t^2 - 590t + 86800 = 0$，解得$t_1 = 280$，$t_2 = 310$。$\because$让利促销，$\therefore t = 280$。$\therefore$销售价应为280元/件。
非常点评：让利促销问题解题的关键是用含未知数的代数式表示让利后的销量。如本题，原价为300元/件，若设降价后的实际售价为$t$元/件，则降了$(300 - t)$元，降价后销售数量增加了$\frac{20}{10}×(300 - t)$件，由此得到降价后的实际销售数量，再由“单件利润×销售数量 = 总利润”构建关于$t$的方程。