《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例9(2022·玄武一模)设$x_1$，$x_2$是关于$x$的方程$x^2 + 3x - m = 0$的两个根，且$2x_1 = x_2$，则$m =$-2。

答案： 解析：因为$x_1$，$x_2$是关于$x$的方程$x^2 + 3x - m = 0$的两个根，所以$x_1 + x_2 = -3$，$x_1x_2 = -m$。因为$2x_1 = x_2$，所以$x_1 + 2x_1 = -3$，解得$x_1 = -1$。所以$x_2 = -2$。所以$(-1)×(-2) = -m$，解得$m = -2$。
答案：-2。
非常点评：本题的条件是方程两个根之间的关系：$2x_1 = x_2$，而由根与系数的关系可得$x_1 + x_2 = -3$，联合这两个条件，建立关于$x_1$，$x_2$的二元一次方程组，从而求得$x_1$，$x_2$的值是解题的关键，求出了两根，再由方程根与系数的关系$x_1x_2 = -m$，求$m$的值。

典例10(2023·滨海模拟)若方程$x^2 - 2x - 2027 = 0$的两个根为$x_1$，$x_2$，则$x_1^2 - 4x_1 - 2x_2$的值为2023。

答案： 解析：因为$x_1$，$x_2$为方程$x^2 - 2x - 2027 = 0$的两个根，所以$x_1 + x_2 = 2$，$x_1^2 - 2x_1 = 2027$。所以原式$= x_1^2 - 2x_1 - 2x_1 - 2x_2 = x_1^2 - 2x_1 - 2(x_1 + x_2) = 2027 - 2×2 = 2027 - 4 = 2023$。
答案：2023。
非常点评：当含两根的代数式中出现一个根的平方，且式中存在两根的运算式不“对称”(如本例中$-4x_1 - 2x_2$)时，应首先考虑能否联合运用一元二次方程根的定义和根与系数的关系解题。

典例11(2023·淮安模拟)已知关于$x$的方程$x^2 - (2m - 1)x + m^2 = 0$的两个实数根为$x_1$，$x_2$。若$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3$，则$m$的值为-3。

答案： 解析：根据题意，得$\Delta = [-(2m - 1)]^2 - 4m^2 \geq 0$，解得$m \leq \frac{1}{4}$。因为方程的两个实数根为$x_1$，$x_2$，所以$x_1 + x_2 = 2m - 1$，$x_1x_2 = m^2$。因为$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3$，所以$x_1x_2 + (x_1 + x_2) + 1 = 3$，即$m^2 + 2m - 1 + 1 = 3$。整理，得$m^2 + 2m - 3 = 0$，解得$m_1 = -3$，$m_2 = 1$。因为$m \leq \frac{1}{4}$，所以$m = -3$。
答案：-3。
非常点评：利用一元二次方程根与系数的关系解题时，特别注意解的结果是否满足方程有实数根，即$b^2 - 4ac \geq 0$。