《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例5(2023·武进模拟)一元二次方程$x(x + 1) = 3(x + 1)$的解是(C)
A.$x = -1$
B.$x = 3$
C.$x_1 = -1$，$x_2 = 3$
D.无实数解

答案： 解析：方程整理，得$x(x + 1) - 3(x + 1) = 0$。分解因式，得$(x + 1)(x - 3) = 0$。所以$x + 1 = 0$或$x - 3 = 0$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 3$。
答案：C.
非常点评：用因式分解法解一元二次方程是解一元二次方程四种方法的首选，本题也可以用其他方法进行求解，但没有题解方法简捷。

典例6（2023·无锡）解方程：$2x^2 + x - 2 = 0$。

答案： 解析：先化为一般式，再求$b^2 - 4ac$的值，最后代入求根公式求解即可。
解：$\because a = 2$，$b = 1$，$c = -2$，$\therefore \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×2×(-2) = 17 ＞ 0$。$\therefore x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}$。$\therefore x_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$。
非常点评：如果一元二次方程有解，那么一定可以用公式法求解，故一元二次方程的求根公式有“万能公式”之称。当无法用因式分解法求解时，一般就用公式法求解。

典例7(2022·泰州)若方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个相等的实数根，则$m$的值为1。

答案： 解析：因为方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个相等的实数根，所以$\Delta = (-2)^2 - 4×1×m = 0$，解得$m = 1$。
答案：1。
非常点评：如果一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0)$有两个相等的实数根，那么$b^2 - 4ac = 0$，从而得到关于字母的方程，可求出字母的值。相应地，如果方程有两个不等的实数根或无实数根，那么得到关于字母的不等式，从而可求字母的取值范围。

典例8(2023·宿迁四模)若关于$x$的一元二次方程$(k - 2)x^2 + 2x - 1 = 0$有实数根，则$k$的取值范围是(C)
A.$k \leq 1$
B.$k \leq 1$且$k \neq 2$
C.$k \geq 1$且$k \neq 2$
D.$k \geq 2$

答案： 解析：因为关于$x$的一元二次方程$(k - 2)x^2 + 2x - 1 = 0$有实数根，所以$k - 2 \neq 0$，即$k \neq 2$；$\Delta \geq 0$，即$\Delta = 2^2 - 4(k - 2)×(-1) = 4k - 4 \geq 0$，解得$k \geq 1$。所以$k$的取值范围是$k \geq 1$且$k \neq 2$。
答案：C.
非常点评：这类题的基本解法是由方程根的情况得出$b^2 - 4ac$的取值范围，从而建立关于方程中待定系数的不等式(或方程)，解不等式(或方程)，求待定系数的取值范围(或值)。注意：如果题干中指定“一元二次方程”，那么二次项系数不等于0，但如果题干中未指定“一元二次方程”或“两个××根”，那么要分类讨论。