《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例1(2023·镇江)若$x = 1$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx - 6 = 0$的一个根，则$m =$5。

答案： 解析：把$x = 1$代入方程$x^2 + mx - 6 = 0$，得$1 + m - 6 = 0$，解得$m = 5$。
答案：5。
非常点评：利用一元二次方程根的意义求方程中字母的取值的一般方法是将方程的根代入方程，形成一个关于字母的新方程，解之即得原方程中字母的值。

典例2(2022·张家港一模)已知$x = 1$是一元二次方程$(m + 2)x^{m^2 - 2} - 3x - 2a = 0$的解，则$m^{-1} + a$的值为1。

答案： 解析：由题意，得$\begin{cases}m + 2 \neq 0 \\ m^2 - 2 = 2\end{cases}$，解得$m = 2$。所以关于$x$的一元二次方程为$4x^2 - 3x - 2a = 0$。因为$x = 1$是方程的解，所以$4 - 3 - 2a = 0$，解得$a = \frac{1}{2}$。所以$m^{-1} + a = 2^{-1} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$。
答案：1。
非常点评：由一元二次方程的定义得到二次项的系数不为0，指数为2，得出关于$m$的不等式与方程，从而求得$m$的值。在解题过程中，容易忽略隐含条件$m + 2 \neq 0$。

典例3(2023·沭阳模拟)若$x = 1$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + ax + 2b = 0$的解，则$2021 - 2a - 4b$的值为2023。

答案： 解析：将$x = 1$代入原方程，得$1 + a + 2b = 0$，所以$a + 2b = -1$。所以$2021 - 2a - 4b = 2021 - 2(a + 2b) = 2021 - 2×(-1) = 2023$。
答案：2023。
非常点评：已知某方程的根，求另一个代数式的值的一般方法：将根代入方程，形成关于方程待定字母的恒等式，再观察待求的代数式的特征，将恒等式适当变形后整体代入代数式，即可求得代数式的值。

典例4(1)(2023·海门一模)用配方法解一元二次方程$2x^2 + 4x - 5 = 0$时，将它化为$(x + a)^2 = b$的形式，则$a + b$的值为(B)
A. 8
B. $\frac{9}{2}$
C. $\frac{7}{2}$
D. $\frac{5}{2}$
(2)(2023·仪征二模)设实数$x$，$y$，$z$满足$x + y + z = 4$，则代数式$xy + 2yz + xz$的最大值是(B)
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12

答案： 解析：
(1)$2x^2 + 4x - 5 = 0$，$x^2 + 2x = \frac{5}{2}$，$x^2 + 2x + 1 = \frac{5}{2} + 1$，即$(x + 1)^2 = \frac{7}{2}$，所以$a = 1$，$b = \frac{7}{2}$。所以$a + b = \frac{9}{2}$。
(2)$xy + 2yz + xz = xy + yz + xz + yz = y(x + z) + z(x + y) = y(4 - y) + z(4 - z) = -y^2 + 4y - 4 + 4 - z^2 + 4z - 4 + 4 = -(y - 2)^2 - (z - 2)^2 + 8$。故$xy + 2yz + xz$的最大值是8。
答案：
(1)B.
(2)B.
非常点评：本题的第
(1)小题解题时注意：配方前应整理方程，使之成为基本形式：$x^2 + mx = n$。配方时，只要在等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可。第
(2)小题解题的目标是将字母均转化到完全平方内，再根据$a^2 \geq 0$的原理判断代数式的最值。