《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 8 某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价 35 元，原计划以每桶 55 元的价格销售，现开展降价促销活动. 已知这种消毒液的销售量 $ y $（桶）与每桶降价 $ x(0 ＜ x ＜ 20) $（元）之间满足一次函数关系，其部分图象如图所示.
（1）求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式；
（2）在这次降价促销活动中，该药店获利 1760 元，这种消毒液每桶实际售价为多少元？

答案：
解析：（1）设一次函数解析式为 $ y = kx + b $，由题意，得当 $ x = 1 $ 时，$ y = 110 $；当 $ x = 3 $ 时，$ y = 130 $，得出方程组，解方程组即可. （2）由题意得出方程 $ (55 - x - 35)(10x + 100) = 1760 $，解方程即可.
解：（1）设一次函数解析式为 $ y = kx + b $.
当 $ x = 1 $ 时，$ y = 110 $；
当 $ x = 3 $ 时，$ y = 130 $.
$ \therefore \begin{cases} k + b = 110 \\ 3k + b = 130 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = 10 \\ b = 100 \end{cases} $.
$ \therefore y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式为 $ y = 10x + 100 $.
（2）由题意，得 $ (55 - x - 35)(10x + 100) = 1760 $.
整理，得 $ x^2 - 10x - 24 = 0 $，
解得 $ x_1 = 12 $，$ x_2 = -2 $（不合题意，舍去）.
$ \therefore 55 - x = 43 $.
$ \therefore $ 这种消毒液每桶实际售价为 43 元.

例 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价. 若每件商品的售价为 $ a $ 元，则可卖出 $ (350 - 10a) $ 件，但物价局限定每件商品的加价不能超过进价的 20%. 商店计划要赚 400 元，则每件商品的售价为多少元？需要卖出多少件商品？

答案： 正确解答：根据题意，得 $ (a - 21)(350 - 10a) = 400 $.
$ \therefore a^2 - 56a + 775 = 0 $.
$ \therefore (a - 25)(a - 31) = 0 $.
$ \therefore a_1 = 25 $，$ a_2 = 31 $.
$ \because $ 每件商品的加价不能超过进价的 20%，
$ \therefore $ 每件商品的售价最高为 $ 21 × (1 + 20\%) = 25.2 $（元）.
$ \therefore a_2 = 31 $ 不合题意，舍去.
$ \therefore a = 25 $，$ 350 - 10a = 100 $.
$ \therefore $ 每件商品的售价为 25 元，需要卖出 100 件商品.