《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 6 某玩具厂生产一种玩具，根据市场调查：每个玩具按 480 元的价格销售时，每天可售出 160 个；若销售单价每降低 1 元，则每天可多售出 2 个. 已知每个玩具的固定成本为 360 元，当这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润 20000 元？

答案：
解析：设销售单价为 $ x $ 元，降价前与降价后的单个利润、销售量、总利润的对比情况如下表：

解：设销售单价为 $ x $ 元.
根据题意，得 $ (x - 360)[160 + 2(480 - x)] = 20000 $.
整理，得 $ x^2 - 920x + 211600 = 0 $，
解得 $ x_1 = x_2 = 460 $.
$ \therefore $ 当这种玩具的销售单价为 460 元时，厂家每天可获利润 20000 元.

典例 7 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ABC = 90^{\circ} $，$ AB = 6 cm $，$ BC = 8 cm $. 点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿边 $ AB $ 向点 $ B $ 以 $ 1 cm/s $ 的速度移动，点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿边 $ BC $ 向点 $ C $ 以 $ 2 cm/s $ 的速度移动. 已知点 $ P $，$ Q $ 分别从点 $ A $，$ B $ 同时出发，当点 $ Q $ 移动到点 $ C $ 时，点 $ P $，$ Q $ 同时停止移动.
（1）经过几秒，点 $ P $，$ Q $ 之间的距离为 $ \sqrt{6} cm $？
（2）经过几秒，$ \triangle PBQ $ 的面积为 $ 8 cm^2 $？

答案： 解析：（1）设经过 $ x s $，点 $ P $，$ Q $ 之间的距离为 $ \sqrt{6} cm $，根据勾股定理列式求解即可. （2）设经过 $ y s $，$ \triangle PBQ $ 的面积为 $ 8 cm^2 $，根据三角形的面积公式列式求解即可.
解：（1）设经过 $ x s $，点 $ P $，$ Q $ 之间的距离为 $ \sqrt{6} cm $，则 $ AP = x cm $，$ QB = 2x cm $.
$ \because AB = 6 cm $，$ BC = 8 cm $，
$ \therefore PB = (6 - x) cm $.
$ \because \angle ABC = 90^{\circ} $，
$ \therefore $ 由勾股定理，得 $ (6 - x)^2 + (2x)^2 = 6 $.
化简，得 $ 5x^2 - 12x + 30 = 0 $.
$ \because \Delta = (-12)^2 - 4 × 5 × 30 = -456 ＜ 0 $，
$ \therefore $ 点 $ P $，$ Q $ 之间的距离不可能为 $ \sqrt{6} cm $.
（2）设经过 $ y s $，$ \triangle PBQ $ 的面积为 $ 8 cm^2 $.
由题意，易得 $ \frac{1}{2}(6 - y) · 2y = 8 $，
解得 $ y_1 = 2 $，$ y_2 = 4 $.
经检验，发现 $ y_1 $，$ y_2 $ 均符合题意.
$ \therefore $ 经过 2 s 或 4 s，$ \triangle PBQ $ 的面积为 $ 8 cm^2 $.