《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

2. 靠墙建设留门问题
典例 4（2023·东营）如图，李叔叔想用长为 70 m 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 $ ABCD $，并在边 $ BC $ 上留一个 2 m 宽的门（建在 $ EF $ 处，另用其他材料）.
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为 $ 640 m^2 $ 的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到 $ 650 m^2 $ 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由.

答案： 解析：（1）若设 $ AB $ 为 $ x m $，可得 $ AD = (70 + 2 - 2x) m $，由矩形面积为 $ 640 m^2 $ 列方程. （2）用（1）中的方法列方程，判断方程有无实数解即可.
解：（1）设矩形 $ ABCD $ 的边 $ AB = x m $，则边 $ AD = 70 + 2 - 2x = (72 - 2x) m $. 根据题意，得 $ x(72 - 2x) = 640 $，解得 $ x_1 = 16 $，$ x_2 = 20 $.
当 $ x = 16 $ 时，$ 72 - 2x = 40 $；当 $ x = 20 $ 时，$ 72 - 2x = 32 $. $ \therefore $ 当羊圈的长为 40 m，宽为 16 m 或长为 32 m，宽为 20 m 时，能围成一个面积为 $ 640 m^2 $ 的羊圈.
（2）不能. 理由：由题意，得 $ x(72 - 2x) = 650 $.
整理，得 $ x^2 - 36x + 325 = 0 $. $ \because (-36)^2 - 4 × 1 × 325 = -4 ＜ 0 $，$ \therefore $ 一元二次方程无实数根. $ \therefore $ 羊圈的面积不能达到 $ 650 m^2 $.

典例 5 某公司今年 1 月的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月的生产成本是 361 万元. 假设该公司 2 月、3 月、4 月每个月生产成本的下降率都相同.
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请预测 4 月该公司的生产成本.

答案： 解析：（1）设每个月生产成本的下降率为 $ x $，根据 3 月的生产成本，即可得出关于 $ x $ 的一元二次方程，解之并选出符合题意的根即可得出结论.
（2）由 4 月该公司的生产成本 $ = 3 $ 月该公司的生产成本 $ × (1 - $ 下降率 $ ) $，即可得出结论.
解：（1）设每个月生产成本的下降率为 $ x $.
根据题意，得 $ 400(1 - x)^2 = 361 $，
解得 $ x_1 = 0.05 = 5\% $，$ x_2 = 1.95 $（不合题意，舍去）.
$ \therefore $ 每个月生产成本的下降率为 $ 5\% $.
（2）$ \because 361 × (1 - 5\%) = 342.95 $（万元），
$ \therefore $ 预测 4 月该公司的生产成本为 342.95 万元.